Exercício 2. (D.K. ex. 7.2 e 7.10) Determine o suporte e o suporte singular das distribuições
,
e
, em que
é a função de Heaviside.
Passo 1
O enunciado pede para achar o suporte
e o suporte singular
das distribuições
,
,
e
.
Para isso usamos:
Para isso usamos:
– Definição de suporte de uma distribuição
: é o menor fechado tal que
sempre que
tem suporte em .
– Definição de suporte singular de
: é o menor fechado tal que
é dado por uma função
em .
Passo 2
Distribuição
.
– Se tem suporte em com
, então
. Logo
“vê” apenas o ponto
, e
– Se
–
não corresponde a nenhuma função suave em qualquer vizinhança de
, mas é suave (nula) em . Assim
Passo 3
Distribuição
.
– Por definição
– Por definição
Para
, isto coincide com a função suave
, que não se anula identicamente em nenhum intervalo aberto. Logo não há aberto onde
seja zero, ou seja
– A única singularidade está em
; fora dela é
. Então
Passo 4
Distribuições
.
Usamos a identidade de Sokhotski–Plemelj:
Usamos a identidade de Sokhotski–Plemelj:
– Como
tem suporte e
tem suporte
, a união cobre todo . Portanto
– Cada termo é suave fora de
. Logo a única singularidade é em
, ou seja
Passo 5
Função de Heaviside
.
– Como para
e
para
, se
tem suporte em
então
. Não há como estender isso para incluir pontos
, logo
– Como
–
é suave em
(constante
) e em
(constante
), mas não é
em
. Assim
Resposta
p.v.
:
,
.
,
,