Exercício 2. (D.K. ex. 7.2 e 7.10) Determine o suporte e o suporte singular das distribuições de<a0, P V(1x), 1x pm i 0 e H(x), em que H é a função de Heaviside.

Passo 1

O enunciado pede para achar o suporte e o suporte singular das distribuições
, , e .
Para isso usamos:
– Definição de suporte de uma distribuição : é o menor fechado tal que sempre que tem suporte em .
– Definição de suporte singular de : é o menor fechado tal que é dado por uma função em .

Passo 2

Distribuição .
– Se tem suporte em com , então . Logo “vê” apenas o ponto , e
não corresponde a nenhuma função suave em qualquer vizinhança de , mas é suave (nula) em . Assim

Passo 3

Distribuição .
– Por definição
Para , isto coincide com a função suave , que não se anula identicamente em nenhum intervalo aberto. Logo não há aberto onde seja zero, ou seja
– A única singularidade está em ; fora dela é . Então

Passo 4

Distribuições .
Usamos a identidade de Sokhotski–Plemelj:
– Como tem suporte e tem suporte , a união cobre todo . Portanto
– Cada termo é suave fora de . Logo a única singularidade é em , ou seja

Passo 5

Função de Heaviside H(x).
– Como H(x)=0 para x<0 e H(x)=1 para x>0, se varphi tem suporte em (-infty,0) então integral H,varphi=0. Não há como estender isso para incluir pontos >=0, logo
suppH=[0,infty)
H é suave em (-infty,0) (constante 0) e em (0,infty) (constante 1), mas não é C^infty em x=0. Assim
singsuppH=0

Resposta

:
,
.
p.v. :
,
.
:
,
.
:
,
.

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