Exercício 3. (D.K. ex. 7.3 e 7.11) Seja
um operador diferencial linear com coeficientes constantes e
. Mostre que:
a)
.
b) sing supp
.
a)
b) sing supp
Passo 1
O enunciado trata de um operador diferencial linear de coeficientes constantes
e de uma distribuição
. Queremos mostrar duas coisas:
-
. -
.
Aqui usamos os conceitos de suporte de uma distribuição (o menor fechado fora do qual ela é zero) e de suporte singular (o menor fechado fora do qual ela é uma função
). O ponto chave é que
é um operador local e preserva a suavidade.
Passo 2
Prova de
.
Suponha que
. Então existe um aberto
em que
como distribuição. Como derivadas de uma distribuição que é identicamente zero continuam sendo zero, cada
vale zero em
. Logo,
também é zero em
. Isso mostra que
. Como
foi um ponto arbitrário fora de
, concluímos
Passo 3
Prova de
.
Suponha agora que
. Então existe um aberto
em que
coincide com uma função
. Mas
, sendo combinação de derivadas de ordem finita, leva funções
em funções
. Logo
é também
em
. Isso implica que
. Portanto
Resposta
a)
.
b) .
b)