Exercício 3. (D.K. ex. 7.3 e 7.11) Seja P(D)=sumalpha aalpha D^alpha um operador diferencial linear com coeficientes constantes e u in D^prime(Omega). Mostre que:
a) supp(P(D) u) subset supp(u).
b) sing supp (P(D) u) subset sing supp(u).

Passo 1

O enunciado trata de um operador diferencial linear de coeficientes constantes
P(D)=sumalphaaalphaD^alpha
e de uma distribuição uinD'(Omega). Queremos mostrar duas coisas:
  1. supp(P(D)u)subsetsupp(u).
  2. sing,supp(P(D)u)subsetsing,supp(u).
Aqui usamos os conceitos de suporte de uma distribuição (o menor fechado fora do qual ela é zero) e de suporte singular (o menor fechado fora do qual ela é uma função C^infty). O ponto chave é que P(D) é um operador local e preserva a suavidade.

Passo 2

Prova de supp(P(D)u)subsetsupp(u).
Suponha que x0notinsupp(u). Então existe um aberto Uni x0 em que u|U=0 como distribuição. Como derivadas de uma distribuição que é identicamente zero continuam sendo zero, cada D^alpha u vale zero em U. Logo,
P(D)u=sumalphaaalphaD^alphau
também é zero em U. Isso mostra que x0notinsupp(P(D)u). Como x0 foi um ponto arbitrário fora de supp(u), concluímos
supp(P(D)u)subsetsupp(u)

Passo 3

Prova de sing,supp(P(D)u)subsetsing,supp(u).
Suponha agora que x0notinsing,supp(u). Então existe um aberto Vni x0 em que u coincide com uma função C^infty. Mas P(D), sendo combinação de derivadas de ordem finita, leva funções C^infty em funções C^infty. Logo P(D)u é também C^infty em V. Isso implica que x0notinsing,supp(P(D)u). Portanto
sing,supp(P(D)u)subsetsing,supp(u)

Resposta

a) supp(P(D)u)subsetsupp(u).
b) sing,supp(P(D)u)subsetsing,supp(u).

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