P 1.5. Seja
. Obtenha, por indução, uma fórmula para
A^n .
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede uma fórmula para
A^n obtida por indução. O conteúdo usado será cálculo de potências de matrizes e prova por indução.
Passo 2
Vamos ver as primeiras potências para perceber um padrão.
Paran=1 temos
Para
Para
n=2
Para
n=3
Para
n=4
Já vemos que as potências se repetem a cada
4 .
Passo 3
A conjectura é que, para todo inteiro
n>=1 ,
Em forma trigonométrica, isto equivale a
Passo 4
Prova por indução em [n):
Base
já vale pois
.
Hipótese: suponha
Então
vai avançar um caso na classe de resto módulo . Isso fecha a indução.
Resposta
ou equivalentemente