P 1.5. Seja A=[cc0 & -1 1 & 0]. Obtenha, por indução, uma fórmula para A^n.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & -1 1 & 0
e pede uma fórmula para A^n obtida por indução. O conteúdo usado será cálculo de potências de matrizes e prova por indução.

Passo 2

Vamos ver as primeiras potências para perceber um padrão.
Para n=1 temos
A^1 = A = 0 & -1 1 & 0
Para n=2
A^2 = Acdot A = 0 & -1 1 & 0 0 & -1 1 & 0 = -1 & 0 0 & -1 = -I
Para n=3
A^3 = A^2cdot A = (-I),A = -A = 0 & 1 -1 & 0
Para n=4
A^4 = A^2cdot A^2 = (-I)(-I) = I
Já vemos que as potências se repetem a cada 4.

Passo 3

A conjectura é que, para todo inteiro n>=1,
A^n = I, & nequiv 0pmod 4, A, & nequiv 1pmod 4, -,I, & nequiv 2pmod 4, -,A, & nequiv 3pmod 4
Em forma trigonométrica, isto equivale a
A^n = cosl(tfracnpi2r) & -sinl(tfracnpi2r) sinl(tfracnpi2r) & cosl(tfracnpi2r)

Passo 4

Prova por indução em [n):
Base já vale pois .
Hipótese: suponha
Então
vai avançar um caso na classe de resto módulo . Isso fecha a indução.

Resposta

A^n = I, & nequiv 0pmod 4, A, & nequiv 1pmod 4, -,I, & nequiv 2pmod 4, -,A, & nequiv 3pmod 4,
ou equivalentemente
A^n = cosl(tfracnpi2r) & -sinl(tfracnpi2r) sinl(tfracnpi2r) & cosl(tfracnpi2r)

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