Exercício 10. Determine z tal que u=(1,-3,2) e v=(5,-3, z) sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de z de modo que os vetores
u=(1,-3,2) e v=(5,-3,z) sejam ortogonais. O conteúdo é produto escalar e a condição de ortogonalidade entre vetores no espaço R^3.

Passo 2

Dois vetores em R^3 são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero. Logo, precisamos usar a definição
ucdot v=u1v1+u2v2+u3v3=0

Passo 3

Substituindo as componentes de u e v na expressão do produto escalar, temos
ucdot v =1cdot5 + (-3)cdot(-3) + 2cdot z =5 + 9 + 2z =14 + 2z
A condição de ortogonalidade exige
14 + 2z = 0

Passo 4

Basta resolver a equação para z:
2z = -14 Longrightarrow z = -7

Resposta

z = -7

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