Em um sistema binário, duas estrelas de massas M=3,0 times 10^30 kg, iguais, giram em torno do centro de massa do sistema a uma distância r=D / 2=1,0 times 10^11 m do mesmo, descrevendo orbitas circulares ein torno do centro de massa do sistema.
(1 , 5) Um asteróide, de massa m=2,0 times 10^15 kg, encontra-se no centro de massa do sistema. Calcule a energia potencial gravitacional associada ao asteróide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema com duas estrelas iguais, cada uma com massa $ M = 3,0 \times 10^{30} $ kg. Essas estrelas estão girando ao redor do centro de massa a uma distância de $ r = 1,0 \times 10^{11} $ m cada. No centro desse sistema, tem um asteróide com massa $ m = 2,0 \times 10^{15} $ kg. A gente precisa calcular a energia potencial gravitacional que esse asteróide tem devido às estrelas.
Para resolver isso, vamos usar a teoria da energia potencial gravitacional, que nos ajuda a entender a interação entre massas no espaço. Vamos precisar das fórmulas da gravitação de Newton e entender como calcular a energia potencial entre objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia potencial gravitacional entre duas massas. A energia potencial $ U $ entre duas massas $ M $ e $ m $ separadas por uma distância $ r $ é dada por:
U
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, que vale aproximadamente $ 6,674 \times 10^{-11} , N·m²/kg² $.

Passo 3

No nosso caso, o asteróide está no centro de massa, e cada estrela está a uma distância $ r = 1,0 \times 10^{11} $ m desse centro. Como são duas estrelas, a energia potencial total será a soma das energias potenciais de cada estrela em relação ao asteróide.
Então, temos duas contribuições para a energia potencial:
r = 1,0 times 10^11
Isso simplifica para:
Utotal = U1 + U2 = -G cdot M cdot mr - G cdot M cdot mr

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Temos:
  • $ G = 6,674 \times 10^{-11} , N·m²/kg² $
  • $ M = 3,0 \times 10^{30} , kg $
  • $ m = 2,0 \times 10^{15} , kg $
  • $ r = 1,0 \times 10^{11} , m $
Substituindo na fórmula:
G = 6,674 times 10^-11 , N·m²/kg²

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicando $ G $, $ M $ e $ m $:
G
  1. Dividindo pelo $ r $:
M
  1. Multiplicando por -2:
m

Resposta

A energia potencial gravitacional associada ao asteróide é aproximadamente -8,0 times 10^24 joules.

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