Em um sistema binário, duas estrelas de massas
, iguais, giram em torno do centro de massa do sistema a uma distância
do mesmo, descrevendo orbitas circulares ein torno do centro de massa do sistema.
Um asteróide, de massa
, encontra-se no centro de massa do sistema. Calcule a energia potencial gravitacional associada ao asteróide.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema com duas estrelas iguais, cada uma com massa $ M = 3,0 \times 10^{30} $ kg. Essas estrelas estão girando ao redor do centro de massa a uma distância de $ r = 1,0 \times 10^{11} $ m cada. No centro desse sistema, tem um asteróide com massa $ m = 2,0 \times 10^{15} $ kg. A gente precisa calcular a energia potencial gravitacional que esse asteróide tem devido às estrelas.
Para resolver isso, vamos usar a teoria da energia potencial gravitacional, que nos ajuda a entender a interação entre massas no espaço. Vamos precisar das fórmulas da gravitação de Newton e entender como calcular a energia potencial entre objetos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia potencial gravitacional entre duas massas. A energia potencial $ U $ entre duas massas $ M $ e $ m $ separadas por uma distância $ r $ é dada por:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, que vale aproximadamente $ 6,674 \times 10^{-11} , N·m²/kg² $.
Passo 3
No nosso caso, o asteróide está no centro de massa, e cada estrela está a uma distância $ r = 1,0 \times 10^{11} $ m desse centro. Como são duas estrelas, a energia potencial total será a soma das energias potenciais de cada estrela em relação ao asteróide.
Então, temos duas contribuições para a energia potencial:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Temos:
- $ G = 6,674 \times 10^{-11} , N·m²/kg² $
- $ M = 3,0 \times 10^{30} , kg $
- $ m = 2,0 \times 10^{15} , kg $
- $ r = 1,0 \times 10^{11} , m $
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
- Multiplicando $ G $, $ M $ e $ m $:
- Dividindo pelo $ r $:
- Multiplicando por -2:
Resposta
A energia potencial gravitacional associada ao asteróide é aproximadamente
joules.