Exercício 0.10 Efetue as operações a seguir.
(3+\sqrt{2})^{2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão (3+\sqrt{2})^{2} e pede que a gente calcule o valor dessa potência, deixando o resultado simplificado.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de quadrado da soma. Para quaisquer números \,a e \,b,
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.
Essa fórmula vem de multiplicar (a+b)(a+b) e juntar os termos semelhantes: a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b, ou seja a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

Passo 3

Identificamos os termos da nossa soma: a=3 e b=\sqrt{2}.

Passo 4

Calculamos cada parcela da fórmula:
a^{2}=3^{2}=9.
2ab = 2\cdot 3\cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}.
b^{2} = (\sqrt{2})^{2} = 2,
porque elevar a raiz quadrada ao quadrado devolve o número dentro da raiz.

Passo 5

Agora somamos as parcelas:
9 + 6\sqrt{2} + 2 = (9+2) + 6\sqrt{2} = 11 + 6\sqrt{2}.
Esse é o resultado já simplificado — não dá para somar 11 com 6\sqrt{2} porque um é racional e o outro é irracional.

Passo 6

(Você pode checar fazendo FOIL (3+\sqrt{2})(3+\sqrt{2}): 3\cdot3 + 3\cdot\sqrt{2} + \sqrt{2}\cdot3 + \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 9 + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}, mesma resposta.)

Resposta

11 + 6\sqrt{2}

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