Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
y=3^{x}

Passo 1

O enunciado pede que você “construa os gráficos cartesianos” da função exponencial y=3^{x}.\n
Informações dadas pelo enunciado: a função é exatamente y=3^{x}. Não há restrição de domínio indicada nem figura fornecida.\n
O que devemos apresentar ao final: um gráfico (esboço) no plano cartesiano que mostre a curva de y=3^{x}, com pontos-chave, assíntota, comportamento para x\to\pm\infty e indicação de monotonicidade para que você consiga desenhar à mão na prova.

Passo 2

O que é uma função exponencial e o que muda quando a base é maior que 1.\n
Uma função exponencial tem a forma geral y=a^{x}, onde a>0 e a\neq1.\n
Quando a base satisfaz a>1 (como aqui, a=3), a curva cresce quando x aumenta: é crescente. Isso acontece porque multiplicar por a>1 a cada incremento de 1 em x aumenta o valor da função.\n
Propriedades imediatas que usaremos: domínio, imagem, assíntota horizontal e valor em x=0. Vamos defini-las de forma clara:\n
  • Domínio: todos os números reais, isto é \mathbb{R}, porque 3^{x} está definido para qualquer x\in\mathbb{R}.\n
  • Imagem (contradomínio efetivo): todos os números positivos (0,\infty), pois 3^{x}>0 para todo x.\n
  • Assíntota horizontal: a curva se aproxima de y=0 quando x\to-\infty, portanto y=0 é assíntota horizontal.\n
  • Interseção com o eixo y: em x=0 temos 3^{0}=1, então a curva passa por (0,1).

Passo 3

Como calcular valores simples de 3^{x} para escolher pontos a plotar.\n
Regra de potências (lembrando): para inteiro positivo n, 3^{n}=3\cdot3\cdot\ldots\cdot3 (n vezes). Para expoente 0, 3^{0}=1. Para expoentes negativos, 3^{-n}=\dfrac{1}{3^{n}}.\n
Vamos calcular pontos fáceis e úteis para desenhar:\n
  • Para x=-2: 3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}.\n
  • Para x=-1: 3^{-1}=\dfrac{1}{3}.\n
  • Para x=0: 3^{0}=1.\n
  • Para x=1: 3^{1}=3.\n
  • Para x=2: 3^{2}=9.\n
    Esses pontos dão uma boa ideia da forma da curva: \left(-2,\dfrac{1}{9}\right),\left(-1,\dfrac{1}{3}\right),(0,1),(1,3),(2,9).

Passo 4

Tabela de pontos (útil para desenhar à mão). Faça uma tabela com duas colunas: x e y=3^{x}. Copie estes valores no papel e marque-os no plano cartesiano.\n
\begin{array}{c|c} x & y=3^{x} \\\ \hline -2 & \dfrac{1}{9} \\\\ -1 & \dfrac{1}{3} \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 3 \\\\ 2 & 9 \end{array}

Passo 5

Comportamento extremo (importante para o esboço):\n
  • Quando x\to+\infty, 3^{x}\to+\infty. Ou seja, a curva sobe muito rápido para a direita.\n
  • Quando x\to-\infty, 3^{x}\to0^{+}. A curva se aproxima de y=0 pela cima, nunca toca o eixo x (porque 3^{x}>0).\n
    Essas observações justificam desenhar uma assíntota horizontal em y=0.

Passo 6

Monotonicidade e inclinação (por que a curva é crescente):\n
Se você já viu derivadas, a derivada de y=3^{x} é \dfrac{dy}{dx}=(\ln 3)\,3^{x}. Aqui \ln 3>0 e 3^{x}>0, então \dfrac{dy}{dx}>0 para todo x, provando que a função é estritamente crescente.\n
Se você não usou derivadas ainda, pense assim: aumentar x em 1 multiplica y por 3. Multiplicar por 3>1 sempre aumenta o valor, então a função sobe conforme x aumenta.

Passo 7

Como desenhar o gráfico passo a passo (na prova, sem régua fina):\n
  1. Trace os eixos x e y. Marque o ponto (0,1) no eixo y.\n
  2. Marque os pontos da tabela: \left(-2,\dfrac{1}{9}\right),\left(-1,\dfrac{1}{3}\right),(0,1),(1,3),(2,9). Importante: para valores muito pequenos como \dfrac{1}{9}, coloque o ponto bem próximo do eixo x, acima dele.\n
  3. Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, lembrando que para x\to-\infty a curva fica cada vez mais próxima de y=0 (assíntota horizontal) e para x\to+\infty sobe muito rápido.\n
  4. Não deixe a curva cruzar o eixo x. Desenhe uma linha pontilhada horizontal em y=0 para indicar a assíntota.\n
  5. Indique a seta no final direito da curva para mostrar que ela cresce sem limite.\n
    Esse esboço é suficiente para a prova: pontos marcados, assíntota e a forma geral.

Passo 8

Comparação rápida para fixar a intuição (exemplo extra):\n
  • y=2^{x} também é crescente, mas cresce mais devagar que y=3^{x}. Ou seja, para x=2 temos 2^{2}=4 enquanto 3^{2}=9, então a curva de 3^{x} é mais “íngreme”.\n
    Esse tipo de comparação ajuda a escolher escala ao desenhar ambos no mesmo gráfico.

Passo 9

Resumo prático do que você deve entregar no papel durante a prova: desenhar e rotular os eixos, marcar os pontos da tabela, desenhar a curva suave que passa por eles, colocar a assíntota y=0 e anotar que a função é crescente com domínio \mathbb{R} e imagem (0,\infty). Você consegue — marque primeiro os pontos e depois ligue com calma.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,\infty)
Interseção com o eixo y: (0,1)
Assíntota horizontal: y=0
Monotonicidade: crescente em \mathbb{R}
Pontos úteis: \left(-2,\dfrac{1}{9}\right),\left(-1,\dfrac{1}{3}\right),(0,1),(1,3),(2,9)

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