Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede que você “construa os gráficos cartesianos” da função exponencial
.\n
Informações dadas pelo enunciado: a função é exatamente . Não há restrição de domínio indicada nem figura fornecida.\n
O que devemos apresentar ao final: um gráfico (esboço) no plano cartesiano que mostre a curva de , com pontos-chave, assíntota, comportamento para
e indicação de monotonicidade para que você consiga desenhar à mão na prova.
Informações dadas pelo enunciado: a função é exatamente
O que devemos apresentar ao final: um gráfico (esboço) no plano cartesiano que mostre a curva de
Passo 2
O que é uma função exponencial e o que muda quando a base é maior que 1.\n
Uma função exponencial tem a forma geral , onde
e
.\n
Quando a base satisfaz (como aqui,
), a curva cresce quando
aumenta: é crescente. Isso acontece porque multiplicar por
a cada incremento de
em
aumenta o valor da função.\n
Propriedades imediatas que usaremos: domínio, imagem, assíntota horizontal e valor em . Vamos defini-las de forma clara:\n
Uma função exponencial tem a forma geral
Quando a base satisfaz
Propriedades imediatas que usaremos: domínio, imagem, assíntota horizontal e valor em
- Domínio: todos os números reais, isto é
, porque está definido para qualquer .\n - Imagem (contradomínio efetivo): todos os números positivos
, pois para todo .\n - Assíntota horizontal: a curva se aproxima de
quando , portanto é assíntota horizontal.\n - Interseção com o eixo
: em temos , então a curva passa por .
Passo 3
Como calcular valores simples de
para escolher pontos a plotar.\n
Regra de potências (lembrando): para inteiro positivo ,
(n vezes). Para expoente
,
. Para expoentes negativos,
.\n
Vamos calcular pontos fáceis e úteis para desenhar:\n
Regra de potências (lembrando): para inteiro positivo
Vamos calcular pontos fáceis e úteis para desenhar:\n
- Para
: .\n - Para
: .\n - Para
: \n - Para
: \n - Para
: \n
Esses pontos dão uma boa ideia da forma da curva:.
Passo 4
Tabela de pontos (útil para desenhar à mão). Faça uma tabela com duas colunas:
e
. Copie estes valores no papel e marque-os no plano cartesiano.\n
Passo 5
Comportamento extremo (importante para o esboço):\n
- Quando
, . Ou seja, a curva sobe muito rápido para a direita.\n - Quando
, . A curva se aproxima de pela cima, nunca toca o eixo (porque ).\n
Essas observações justificam desenhar uma assíntota horizontal em.
Passo 6
Monotonicidade e inclinação (por que a curva é crescente):\n
Se você já viu derivadas, a derivada de é
. Aqui
e
, então
para todo
, provando que a função é estritamente crescente.\n
Se você não usou derivadas ainda, pense assim: aumentar em 1 multiplica
por
. Multiplicar por
sempre aumenta o valor, então a função sobe conforme
aumenta.
Se você já viu derivadas, a derivada de
Se você não usou derivadas ainda, pense assim: aumentar
Passo 7
Como desenhar o gráfico passo a passo (na prova, sem régua fina):\n
- Trace os eixos
e . Marque o ponto no eixo .\n - Marque os pontos da tabela:
. Importante: para valores muito pequenos como , coloque o ponto bem próximo do eixo , acima dele.\n - Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, lembrando que para
a curva fica cada vez mais próxima de (assíntota horizontal) e para sobe muito rápido.\n - Não deixe a curva cruzar o eixo
. Desenhe uma linha pontilhada horizontal em para indicar a assíntota.\n - Indique a seta no final direito da curva para mostrar que ela cresce sem limite.\n
Esse esboço é suficiente para a prova: pontos marcados, assíntota e a forma geral.
Passo 8
Comparação rápida para fixar a intuição (exemplo extra):\n
-
também é crescente, mas cresce mais devagar que . Ou seja, para temos enquanto , então a curva de é mais “íngreme”.\n
Esse tipo de comparação ajuda a escolher escala ao desenhar ambos no mesmo gráfico.
Passo 9
Resumo prático do que você deve entregar no papel durante a prova: desenhar e rotular os eixos, marcar os pontos da tabela, desenhar a curva suave que passa por eles, colocar a assíntota
e anotar que a função é crescente com domínio
e imagem
. Você consegue — marque primeiro os pontos e depois ligue com calma.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Interseção com o eixo :
Assíntota horizontal:
Monotonicidade: crescente em
Pontos úteis:
Imagem:
Interseção com o eixo
Assíntota horizontal:
Monotonicidade: crescente em
Pontos úteis: