Exercício 10. (ELJ 55) Seja uma função que satisfaz
Mostre que é uma função constante.
Passo 1
O enunciado dá uma função que satisfaz
e pede para mostrar que é constante. Vamos usar um argumento de subdivisão do segmento que liga dois pontos quaisquer e um argumento de limite para concluir que .
Passo 2
Escolha quaisquer e um inteiro . Defina os pontos
de modo que e . Pela desigualdade triangular e pela hipótese,
Como |xi-xi+1|=|y-x|/N para todo i, isso vira
|f(x)-f(y)| ;<=; Ncdotl(|y-x|Nr)^2 ;=; |y-x|^2N
Passo 3
Agora faça Ntoinfty. O lado direito |y-x|^2/N tende a 0, logo
|f(x)-f(y)|=0
Como x e y eram quaisquer, concluímos que f(x)=f(y) para todo x,y, ou seja, f é constante.