Exercício 10. (ELJ 55) Seja f: R^m R^n uma função que satisfaz
|f(x)-f(y)| <=|x-y|^2, forall x, y in R^m
Mostre que f é uma função constante.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:R^mtoR^n que satisfaz
|f(x)-f(y)|<= |x-y|^2, forall x,yinR^m
e pede para mostrar que f é constante. Vamos usar um argumento de subdivisão do segmento que liga dois pontos quaisquer e um argumento de limite para concluir que |f(x)-f(y)|=0.

Passo 2

Escolha quaisquer x,yinR^m e um inteiro N>=1. Defina os pontos
xi = x + iN(y-x), i=0,1,dots,N,
de modo que x0=x e xN=y. Pela desigualdade triangular e pela hipótese,
|f(x)-f(y)| ;=;|sumi=0^N-1l(f(xi)-f(xi+1)r)| ;<=;sumi=0^N-1|f(xi)-f(xi+1)| ;<=;sumi=0^N-1|xi-xi+1|^2
Como |xi-xi+1|=|y-x|/N para todo i, isso vira
|f(x)-f(y)| ;<=; Ncdotl(|y-x|Nr)^2 ;=; |y-x|^2N

Passo 3

Agora faça Ntoinfty. O lado direito |y-x|^2/N tende a 0, logo
|f(x)-f(y)|=0
Como x e y eram quaisquer, concluímos que f(x)=f(y) para todo x,y, ou seja, f é constante.

Resposta

A função f é constante.

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