Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=2^infty 3+cos ((3 n+1) pi)raiz[5]n^7

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty 3+cosl((3n+1)pir)raiz[5]n^7
que é uma série de termos não-negativos. O conteúdo aqui é reconhecimento de séries do tipo p-série e uso de teste de comparação.

Passo 2

Vamos simplificar o cosseno:
cosl((3n+1)pir) =cos(3npi+pi) =cos(3npi)cos(pi)-sin(3npi)sin(pi) =-cos(3npi) =-(-1)^3n =-(-1)^n

Passo 3

Substituindo na expressão do termo geral,
3+cosl((3n+1)pir) =3-(-1)^n
Logo, para n par temos 3-1=2 e para n ímpar temos 3-(-1)=4. Portanto
2 <= 3+cosl((3n+1)pir)<= 4,
e o termo geral fica
an = 3+cosl((3n+1)pir)n^7/5 <= 4n^7/5

Passo 4

Como sabemos que a série
sumn=2^infty 4n^7/5 =4sumn=2^infty 1n^7/5
é uma p-série com p=tfrac75>1, ela converge. E como 0<= an<= 4/n^7/5, pelo teste da comparação a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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