Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=3^infty nn^2+4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=3^infty nn^2+4
converge ou diverge.
Conteúdo: testes de convergência de séries numéricas. Vamos usar o Critério da Comparação Limite (Limit Comparison Test) comparando com a série harmônica sum 1/n.

Passo 2

Defina
an = nn^2+4 e bn = 1n
Note que para n>=3 temos an>0 e bn>0, condições que permitem usar o critério.

Passo 3

Calcule o limite
L = limntoinfty anbn = limntoinfty nn^2+41n = limntoinfty n^2n^2+4 = 1
Como 0<L<infty, o critério diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que a série harmônica
sumn=3^infty 1n
é divergente. Logo, pela comparação-limite com L=1, a série sumn=3^infty nn^2+4 também diverge.

Resposta

A série diverge.

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