Exercício 8. (ELJ 51) Use a regra da cadeia para resolver os itens abaixo:
Mostre que se
e
são diferenciáveis, então
dado por
é diferenciável. Calcule
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado define
com
e
diferenciáveis. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para composições de funções multivariáveis. Vamos estruturar a resolução em composições mais simples e depois aplicar a cadeia.
Passo 2
Definimos funções auxiliares
por
Elas são lineares (logo diferenciáveis) e seus diferenciais no ponto
aplicados a um vetor
são
Passo 3
Agora compondo com
e
, definimos
Pela regra da cadeia univariada, seus diferenciais são
Passo 4
Por fim,
. Como
é diferenciável, no ponto
vale
Aplicando a cadeia multivariada:
Substituindo
e
obtém-se: