Exercício 8. (ELJ 51) Use a regra da cadeia para resolver os itens abaixo:
Mostre que se g: R R, h: R R e f: R^2 R são diferenciáveis, então F: R^3 R dado por F(x, y, z)=f(g(x+y), h(y+z)) é diferenciável. Calcule d F(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define
F(x,y,z)=fl(g(x+y),,h(y+z)r)
com g,hcolonRtoR e fcolonR^2toR diferenciáveis. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para composições de funções multivariáveis. Vamos estruturar a resolução em composições mais simples e depois aplicar a cadeia.

Passo 2

Definimos funções auxiliares phi1,phi2colonR^3toR por
phi1(x,y,z)=x+y, phi2(x,y,z)=y+z
Elas são lineares (logo diferenciáveis) e seus diferenciais no ponto (x,y,z) aplicados a um vetor (d x,d y,d z) são
dphi1(x,y,z)(d x,d y,d z)=d x+d y,
dphi2(x,y,z)(d x,d y,d z)=d y+d z

Passo 3

Agora compondo com g e h, definimos
alpha(x,y,z)=gl(phi1(x,y,z)r)=g(x+y),
beta(x,y,z)=hl(phi2(x,y,z)r)=h(y+z)
Pela regra da cadeia univariada, seus diferenciais são
dalpha(x,y,z)(d x,d y,d z) =g'l(x+yr),(d x+d y),
dbeta(x,y,z)(d x,d y,d z) =h'l(y+zr),(d y+d z)

Passo 4

Por fim, F(x,y,z)=fl(alpha(x,y,z),beta(x,y,z)r). Como f é diferenciável, no ponto (u,v)=(alpha,beta) vale
d f(u,v)(u',v') =partial fpartial u(u,v),u' +partial fpartial v(u,v),v'
Aplicando a cadeia multivariada:
dF(x,y,z)(d x,d y,d z) =partial fpartial ul(alpha,betar),dalpha(x,y,z) +partial fpartial vl(alpha,betar),dbeta(x,y,z)
Substituindo dalpha e dbeta obtém-se:

Resposta

dF(x,y,z)(d x,d y,d z) =partial fpartial ul(g(x+y),h(y+z)r),g'(x+y),(d x+d y) +partial fpartial vl(g(x+y),h(y+z)r),h'(y+z),(d y+d z)

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