Encontre a série que representa f^prime(x) e determine seu raio de convergência:
f(x)=sumn=0^infty 2(2 n)! x^3 n

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=sumn=0^infty2(2n)!,x^3n
e pede a série que representa f'(x) e seu raio de convergência. Vamos usar diferenciação termo a termo de séries de potências e, em seguida, o teste da razão (ou raiz) para o raio.

Passo 2

Diferenciando termo a termo, para cada n>=0 temos
ddxl(x^3nr)=3n,x^3n-1,
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f'(x) =sumn=0^infty2(2n)!,ddxl(x^3nr) =sumn=1^infty2cdot3n(2n)!,x^3n-1

Passo 3

Simplificando o coeficiente 2cdot3n=6n, obtemos a forma final da série:
f'(x) =sumn=1^infty6n(2n)!,x^3n-1

Passo 4

Para o raio de convergência R, observe que a série original em y=x^3,
sumn=0^infty2(2n)!,y^n,
é a expansão de uma função inteira (raio infinito). Alternativamente, aplicando o teste da razão em f'(x),
limntoinfty|6(n+1)(2n+2)!,x^3(n+1)-16n(2n)!,x^3n-1| =limntoinftyn+1n,|x|^3(2n+2)(2n+1)=0<1
para todo x. Portanto,
R=+infty

Resposta

f'(x)=sumn=1^infty6n(2n)!,x^3n-1
Raio de convergência: R=+infty.

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