Encontre a série que representa e determine seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado dá
e pede a série que representa e seu raio de convergência. Vamos usar diferenciação termo a termo de séries de potências e, em seguida, o teste da razão (ou raiz) para o raio.
Passo 2
Diferenciando termo a termo, para cada temos
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Passo 3
Simplificando o coeficiente , obtemos a forma final da série:
Passo 4
Para o raio de convergência , observe que a série original em ,
é a expansão de uma função inteira (raio infinito). Alternativamente, aplicando o teste da razão em ,