Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo principal é análise de funções racionais: domínio, interceptos, assíntotas, monotonia e concavidade usando derivadas, para depois montar o esboço.
Passo 2
Determinar o domínio. Como o denominador não pode ser zero, temos
Logo
Passo 3
Calcular interceptos.
Para o eixo :
Para o eixo
Para o eixo
: numerador zero
.
Há, portanto, um único intercepto em .
Há, portanto, um único intercepto em
Passo 4
Encontrar assíntota vertical em
.
Usando limites laterais:
Usando limites laterais:
Passo 5
Determinar assíntota oblíqua dividindo polinômios:
Logo, para
,
é a assíntota oblíqua.
Passo 6
Estudar monotonia com
.
Zeros de
:
e
.
Como em todo o domínio, o sinal de
é o de
:
Como
- Para
: (crescente). - Para
(ainda na parte esquerda ou já na direita da assíntota conforme o intervalo): (decrescente). - Para
: (crescente).
Passo 7
Classificar extremos:
- Em
, troca de positivo para negativo → máximo local em
Ponto
.
- Em
, troca de negativo para positivo → mínimo local em .
Passo 8
Estudar concavidade com
.
Calculando, chega-se a
Calculando, chega-se a
O sinal depende de
:
- Para
: e → (concavidade para baixo). - Para
: e → (concavidade para cima).
Não há ponto de inflexão no domínio (somente mudança de concavidade ao cruzar a assíntota).
Passo 9
Reunindo tudo para o esboço:
- Domínio: dois ramos, separados em
. - Assíntota vertical:
. - Assíntota oblíqua:
. - Intercepto e mínimo em
. - Máximo em
. - Crescente em
e ; decrescente em e . - Concavidade para baixo em
, para cima em .
Com esses pontos, traça-se cada ramo aproximando-se das assíntotas e passando pelos extremos.
Resposta
Esboço do gráfico de
com:
– domínio ;
– assíntota vertical ;
– assíntota oblíqua ;
– ponto de máximo em ;
– ponto de mínimo em ;
– concavidade para baixo à esquerda da assíntota e para cima à direita;
– crescendo em e
, decrescendo nos outros intervalos.
– domínio
– assíntota vertical
– assíntota oblíqua
– ponto de máximo em
– ponto de mínimo em
– concavidade para baixo à esquerda da assíntota e para cima à direita;
– crescendo em