Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}}{2 x+5}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=\frac{x^{2}}{2x+5}.
O conteúdo principal é análise de funções racionais: domínio, interceptos, assíntotas, monotonia e concavidade usando derivadas, para depois montar o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio. Como o denominador não pode ser zero, temos
2x+5\neq0\;\Longrightarrow\;x\neq -\tfrac{5}{2}.
Logo
\mathrm{Dom}(f)=(-\infty,-\tfrac{5}{2})\cup(-\tfrac{5}{2},\infty).

Passo 3

Calcular interceptos.
Para o eixo y: x=0
f(0)=\frac{0^{2}}{2\cdot0+5}=0.
Para o eixo x: numerador zero \iff x^{2}=0\iff x=0.
Há, portanto, um único intercepto em (0,0).

Passo 4

Encontrar assíntota vertical em x=-\tfrac{5}{2}.
Usando limites laterais:
\lim_{x\to(-\tfrac{5}{2})^{+}}f(x) =\frac{(\tfrac{25}{4})}{0^{+}}=+\infty, \qquad \lim_{x\to(-\tfrac{5}{2})^{-}}f(x) =\frac{(\tfrac{25}{4})}{0^{-}}=-\infty.

Passo 5

Determinar assíntota oblíqua dividindo polinômios:
\frac{x^{2}}{2x+5} =\frac12\,x-\frac54+\frac{\tfrac{25}{4}}{2x+5}.
Logo, para x\to\pm\infty,
y=\tfrac12\,x-\tfrac54
é a assíntota oblíqua.

Passo 6

Estudar monotonia com f'.
f'(x) =\frac{(2x)(2x+5)-x^{2}\cdot2}{(2x+5)^{2}} =\frac{2x(x+5)}{(2x+5)^{2}}.
Zeros de f': x=0 e x=-5.
Como (2x+5)^{2}>0 em todo o domínio, o sinal de f' é o de 2x(x+5):
  • Para x<-5: f'>0 (crescente).
  • Para -5<x<0 (ainda na parte esquerda ou já na direita da assíntota conforme o intervalo): f'<0 (decrescente).
  • Para x>0: f'>0 (crescente).

Passo 7

Classificar extremos:
  • Em x=-5, f' troca de positivo para negativo → máximo local em
f(-5)=\frac{25}{2(-5)+5}=\frac{25}{-5}=-5.
Ponto \bigl(-5,-5\bigr).
  • Em x=0, f' troca de negativo para positivo → mínimo local em (0,0).

Passo 8

Estudar concavidade com f''.
Calculando, chega-se a
f''(x)=\frac{50}{(2x+5)^{3}}.
O sinal depende de 2x+5:
  • Para x<-\tfrac{5}{2}: 2x+5<0 e (2x+5)^{3}<0 f''<0 (concavidade para baixo).
  • Para x>-\tfrac{5}{2}: 2x+5>0 e (2x+5)^{3}>0 f''>0 (concavidade para cima).
    Não há ponto de inflexão no domínio (somente mudança de concavidade ao cruzar a assíntota).

Passo 9

Reunindo tudo para o esboço:
  • Domínio: dois ramos, separados em x=-\tfrac{5}{2}.
  • Assíntota vertical: x=-\tfrac{5}{2}.
  • Assíntota oblíqua: y=\tfrac12x-\tfrac54.
  • Intercepto e mínimo em (0,0).
  • Máximo em \bigl(-5,-5\bigr).
  • Crescente em (-\infty,-5) e (0,\infty); decrescente em (-5,-\tfrac{5}{2}) e (-\tfrac{5}{2},0).
  • Concavidade para baixo em (-\infty,-\tfrac{5}{2}), para cima em (-\tfrac{5}{2},\infty).
Com esses pontos, traça-se cada ramo aproximando-se das assíntotas e passando pelos extremos.

Resposta

Esboço do gráfico de f(x)=\frac{x^{2}}{2x+5} com:
– domínio (-\infty,-\tfrac{5}{2})\cup(-\tfrac{5}{2},\infty);
– assíntota vertical x=-\tfrac{5}{2};
– assíntota oblíqua y=\tfrac12\,x-\tfrac54;
– ponto de máximo em \bigl(-5,-5\bigr);
– ponto de mínimo em (0,0);
– concavidade para baixo à esquerda da assíntota e para cima à direita;
– crescendo em (-\infty,-5) e (0,\infty), decrescendo nos outros intervalos.

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