Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo: f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}.
O conteúdo aqui é “esboço de curvas” em uma variável real. Para isso vamos seguir o roteiro clássico: domínio e interceptos, simetria, limites (assíntotas), derivada primeira (monotonicidade e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão) e, por fim, montar o esboço.
Passo 2
Domínio, interceptos e simetria
A função está definida sempre que o denominador for não nulo. Como
x^{2}+4>0\quad\forall x\in\mathbb{R},
o domínio é \mathbb{R}. O intercepto em y ocorre em x=0:
f(0)=0\implies(0,0).
Não há outros interceptos além deste, pois f(x)=0 só se x=0.
Verificamos a simetria:
Como a função cresce até x=-2 e decresce para x<-2, em x=-2 temos mínimo local \bigl(-2,-\tfrac14\bigr). Em x=2 ocorre máximo local \bigl(2,\tfrac14\bigr).
Passo 5
Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão
Derivando f'(x)=\tfrac{4-x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}, obtemos
f''(x) =-2x\,(12 - x^{2})\,(x^{2}+4)^{-3}.
As raízes de f''(x)=0 são x=0 e x=\pm2\sqrt{3}. O sinal de f'' indica:
Concavidade para cima em -2\sqrt{3}<x<0 e em x>2\sqrt{3}.
Concavidade para baixo em x< -2\sqrt{3} e em 0<x<2\sqrt{3}.
Portanto há pontos de inflexão em x=-2\sqrt{3},0,2\sqrt{3}, cujos valores são
Esboço final \bullet O gráfico passa pelo ponto (0,0) e é ímpar (simetria na origem). \bullet Cresce de -\infty até (-2,-\tfrac14), atinge mínimo local, em seguida cresce até (2,\tfrac14), atinge máximo local, e depois decresce para 0 quando x\to+\infty. \bullet A assíntota horizontal é y=0. \bullet Pontos de inflexão em x=-2\sqrt{3}, 0 e 2\sqrt{3}, ajustando a mudança de concavidade.
Resposta
O esboço é uma curva suave, ímpar, que:
– Tem mínimo em \bigl(-2,-\tfrac14\bigr) e máximo em \bigl(2,\tfrac14\bigr).
– Possui assíntota horizontal y=0.
– É côncava para baixo antes de x=-2\sqrt{3}, côncava para cima entre -2\sqrt{3} e 0, côncava para baixo entre 0 e 2\sqrt{3}, e côncava para cima em x>2\sqrt{3}.
Esse perfil reúne todos os pontos-chave para desenhar o gráfico de f(x)=\tfrac{x}{x^{2}+4}.