Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}.
O conteúdo aqui é “esboço de curvas” em uma variável real. Para isso vamos seguir o roteiro clássico: domínio e interceptos, simetria, limites (assíntotas), derivada primeira (monotonicidade e extremos), derivada segunda (concavidade e pontos de inflexão) e, por fim, montar o esboço.

Passo 2

Domínio, interceptos e simetria
A função está definida sempre que o denominador for não nulo. Como
x^{2}+4>0\quad\forall x\in\mathbb{R},
o domínio é \mathbb{R}. O intercepto em y ocorre em x=0:
f(0)=0\implies(0,0).
Não há outros interceptos além deste, pois f(x)=0 só se x=0.
Verificamos a simetria:
f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}+4}=-\frac{x}{x^{2}+4}=-f(x),
logo f é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Limites e assíntotas horizontais
Para x\to\pm\infty temos
f(x)=\frac{x}{x^{2}+4}=\frac1{x}\,\frac{1}{1+4/x^{2}}\xrightarrow[x\to\pm\infty]{}0.
Não há descontinuidade finita, portanto não existem assíntotas verticais. A única assíntota é y=0
(horizontal).

Passo 4

Derivada primeira, monotonicidade e extremos
Calculamos
f'(x) =\frac{(x^{2}+4)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{4 - x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}.
O sinal de f'(x) é dado por 4-x^{2}:
  • Se |x|<2, então 4-x^{2}>0\implies f'(x)>0 (cresce).
  • Se |x|>2, então 4-x^{2}<0\implies f'(x)<0 (decresce).
    Há pontos críticos em x=\pm2. Avaliando:
f(2)=\frac{2}{4+4}=\frac14,\qquad f(-2)=\frac{-2}{4+4}=-\frac14.
Como a função cresce até x=-2 e decresce para x<-2, em x=-2 temos mínimo local \bigl(-2,-\tfrac14\bigr). Em x=2 ocorre máximo local \bigl(2,\tfrac14\bigr).

Passo 5

Derivada segunda, concavidade e pontos de inflexão
Derivando f'(x)=\tfrac{4-x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}, obtemos
f''(x) =-2x\,(12 - x^{2})\,(x^{2}+4)^{-3}.
As raízes de f''(x)=0 são x=0 e x=\pm2\sqrt{3}. O sinal de f'' indica:
  • Concavidade para cima em -2\sqrt{3}<x<0 e em x>2\sqrt{3}.
  • Concavidade para baixo em x< -2\sqrt{3} e em 0<x<2\sqrt{3}.
    Portanto há pontos de inflexão em x=-2\sqrt{3},0,2\sqrt{3}, cujos valores são
f(0)=0,\quad f(\pm2\sqrt{3})=\pm\frac{2\sqrt{3}}{(2\sqrt{3})^{2}+4} =\pm\frac{2\sqrt{3}}{12+4}=\pm\frac{\sqrt{3}}{8}.

Passo 6

Esboço final \bullet O gráfico passa pelo ponto (0,0) e é ímpar (simetria na origem). \bullet Cresce de -\infty até (-2,-\tfrac14), atinge mínimo local, em seguida cresce até (2,\tfrac14), atinge máximo local, e depois decresce para 0 quando x\to+\infty. \bullet A assíntota horizontal é y=0. \bullet Pontos de inflexão em x=-2\sqrt{3}, 0 e 2\sqrt{3}, ajustando a mudança de concavidade.

Resposta

O esboço é uma curva suave, ímpar, que:
– Tem mínimo em \bigl(-2,-\tfrac14\bigr) e máximo em \bigl(2,\tfrac14\bigr).
– Possui assíntota horizontal y=0.
– É côncava para baixo antes de x=-2\sqrt{3}, côncava para cima entre -2\sqrt{3} e 0, côncava para baixo entre 0 e 2\sqrt{3}, e côncava para cima em x>2\sqrt{3}.
Esse perfil reúne todos os pontos-chave para desenhar o gráfico de f(x)=\tfrac{x}{x^{2}+4}.

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