Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O conteúdo é esboço de curvas: vamos analisar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e concavidade para construir o gráfico.
Passo 2
Determinamos o domínio e os interceptos:
O domínio é
O domínio é
pois o denominador não pode ser zero.
Para o intercepto em (colocando
):
Para o intercepto em
logo o ponto
.
Para os interceptos em (resolvendo
):
Para os interceptos em
isto é, interceptos em
e
.
Passo 3
Analisamos as assíntotas:
- Assíntota vertical em
, pois o denominador zera ali. - Assíntota oblíqua estudando
logo a reta
é assíntota oblíqua.
Passo 4
Estudamos a monotonicidade via derivada:
Como
em todo o domínio, temos
para
e para
. Assim,
é estritamente decrescente em cada ramo.
Passo 5
Determinamos a concavidade via segunda derivada:
Para
temos
e
(côncavo para baixo); para
temos
e
(côncavo para cima). Não há ponto de inflexão no domínio, apenas mudança de curvatura atravessando a assíntota.
Passo 6
Resumo do esboço do gráfico:
- Dois ramos separados pela assíntota vertical
. - Cada ramo é decrescente.
- Para
, ; para , . - Para
, o ramo esquerdo aproxima-se de vindo de ; para , o ramo direito aproxima-se de vindo de . - Interceptos em
, no ramo esquerdo e no ramo direito. - Curvatura côncava para baixo em
e côncava para cima em .
Resposta
O gráfico possui:
– Domínio .
– Assíntota vertical e oblíqua
.
– Interceptos em ,
e
.
– Função estritamente decrescente em cada ramo; côncava para baixo em e para cima em
.
– Dois ramos: à esquerda vai de a
, à direita de
a
, aproximando-se de
.
– Domínio
– Assíntota vertical
– Interceptos em
– Função estritamente decrescente em cada ramo; côncava para baixo em
– Dois ramos: à esquerda vai de