Exercício 10 Esboce o gráfico das funções a seguir, seguindo o roteiro abaixo:
f(x)=\frac{1}{x-1}-x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=\frac{1}{x-1}-x.
O conteúdo é esboço de curvas: vamos analisar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade e concavidade para construir o gráfico.

Passo 2

Determinamos o domínio e os interceptos:
O domínio é
\mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\},
pois o denominador não pode ser zero.
Para o intercepto em y (colocando x=0):
f(0)=\frac{1}{0-1}-0=-1,
logo o ponto (0,-1).
Para os interceptos em x (resolvendo f(x)=0):
\frac{1}{x-1}=x \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x -1=0
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2},
isto é, interceptos em \bigl(\tfrac{1-\sqrt5}2,0\bigr) e \bigl(\tfrac{1+\sqrt5}2,0\bigr).

Passo 3

Analisamos as assíntotas:
  1. Assíntota vertical em x=1, pois o denominador zera ali.
  2. Assíntota oblíqua estudando
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)+x\bigr) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x-1}=0,
logo a reta y=-x é assíntota oblíqua.

Passo 4

Estudamos a monotonicidade via derivada:
f'(x)=-1-\frac{1}{(x-1)^2}.
Como \frac{1}{(x-1)^2}>0 em todo o domínio, temos f'(x)<0 para x<1 e para x>1. Assim, f é estritamente decrescente em cada ramo.

Passo 5

Determinamos a concavidade via segunda derivada:
f''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}.
Para x<1 temos (x-1)^3<0 e f''(x)<0 (côncavo para baixo); para x>1 temos (x-1)^3>0 e f''(x)>0 (côncavo para cima). Não há ponto de inflexão no domínio, apenas mudança de curvatura atravessando a assíntota.

Passo 6

Resumo do esboço do gráfico:
  • Dois ramos separados pela assíntota vertical x=1.
  • Cada ramo é decrescente.
  • Para x\to1^-, f(x)\to-\infty; para x\to1^+, f(x)\to+\infty.
  • Para x\to-\infty, o ramo esquerdo aproxima-se de y=-x vindo de +\infty; para x\to+\infty, o ramo direito aproxima-se de y=-x vindo de -\infty.
  • Interceptos em (0,-1), \bigl(\tfrac{1-\sqrt5}2,0\bigr) no ramo esquerdo e \bigl(\tfrac{1+\sqrt5}2,0\bigr) no ramo direito.
  • Curvatura côncava para baixo em x<1 e côncava para cima em x>1.

Resposta

O gráfico possui:
– Domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}.
– Assíntota vertical x=1 e oblíqua y=-x.
– Interceptos em (0,-1), \bigl(\tfrac{1-\sqrt5}2,0\bigr) e \bigl(\tfrac{1+\sqrt5}2,0\bigr).
– Função estritamente decrescente em cada ramo; côncava para baixo em x<1 e para cima em x>1.
– Dois ramos: à esquerda vai de +\infty a -\infty, à direita de +\infty a -\infty, aproximando-se de y=-x.

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