Exercício 10: Explique por que as sentenças abaixo possuem significados distintos e determine quais são verdadeiras e quais são falsas:
\forall y \in \mathbb{Z}, \exists x \in \mathbb{N} tal que y^{2}=x.

Passo 1

O enunciado apresenta (ao menos) duas sentenças com quantificadores que vamos comparar e avaliar. Vou escrever as duas explicitamente para ficar claro (estou supondo que a outra sentença a que se refere é a que tem a ordem dos quantificadores trocada):
  • Sentença A: \forall y \in \mathbb{Z},\, \exists x \in \mathbb{N} tal que \;y^{2}=x.
  • Sentença B: \exists x \in \mathbb{N},\, \forall y \in \mathbb{Z} tal que \;y^{2}=x.
O que se pede:
  • Explicar por que essas duas sentenças têm significados distintos.
  • Determinar, para cada uma, se é verdadeira ou falsa (e justificar).

Passo 2

O que significam os quantificadores — uma mini-aula prática:
  • \forall y\in\mathbb{Z} significa “para todo inteiro y (cada inteiro que eu escolher)”.
  • \exists x\in\mathbb{N} significa “existe pelo menos um natural x” (pode depender do que foi escolhido antes, se houver um quantificador anterior).
    A ordem importa porque em
  • \forall y\,\exists x\,P(x,y) o valor de x pode depender do y escolhido (para cada y eu posso escolher um x possivelmente diferente).
  • \exists x\,\forall y\,P(x,y) eu preciso encontrar um único x que funcione para todos os y ao mesmo tempo.
    Exemplo não matemático rápido e intuitivo: “Para cada pessoa existe uma mãe” ( \forall pessoa \exists mãe) é razoável; “Existe uma pessoa que é mãe de todas as pessoas” ( \exists pessoa \forall pessoa) é absurdo. Isso ilustra por que trocar a ordem muda o significado.

Passo 3

Análise da Sentença A ( \forall y\in\mathbb{Z},\,\exists x\in\mathbb{N} tal que \;y^{2}=x) — raciocínio construtivo:
  • Dado um y\in\mathbb{Z}, calcule y^{2}. Por definição de quadrado, y^{2} é um inteiro não negativo, isto é, y^{2}\in\mathbb{Z} e y^{2}\ge 0.
  • Se a convenção adotada é \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} (naturais incluem o 0), então y^{2} pertence a \mathbb{N}. Logo, para cada y basta escolher x=y^{2} e a condição y^{2}=x é satisfeita. Assim, sob essa convenção, a Sentença A é verdadeira — porque se dá uma construção explícita de x em função de y.
  • Se, em vez disso, a convenção adotada for \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (naturais não incluem o 0), então há um problema: para y=0 temos y^{2}=0, mas 0\notin\mathbb{N} sob essa convenção. Nesse caso a Sentença A é falsa (contraexemplo: escolha y=0, não existe x\in\mathbb{N} tal que 0^{2}=x).
    Resumo desta parte: a verdade da Sentença A depende da convenção sobre \mathbb{N}. Com \mathbb{N} incluindo 0 ela é verdadeira; com \mathbb{N} começando em 1 ela é falsa (por y=0).

Passo 4

Exemplos numéricos que ajudam a fixar:
  • Se \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}: para y=-3 escolhe-se x=(-3)^{2}=9\in\mathbb{N}; para y=7 escolhe-se x=49\in\mathbb{N}; para y=0 escolhe-se x=0\in\mathbb{N}. Então sempre existe um x (possivelmente diferente) para cada y.
  • Se \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}: para y=0 não há x\in\mathbb{N} com 0^{2}=x. Portanto a sentença falha já com esse único y.

Passo 5

Análise da Sentença B ( \exists x\in\mathbb{N},\,\forall y\in\mathbb{Z} tal que \;y^{2}=x) — por que é falsa sempre:
  • A Sentença B exige que exista um único x\in\mathbb{N} que seja igual a y^{2} para todo y\in\mathbb{Z} ao mesmo tempo.
  • Se tal x existisse, então em particular 0^{2}=x e 1^{2}=x. Mas 0^{2}=0 e 1^{2}=1. Logo teríamos 0=x=1, o que é impossível. Portanto não existe esse x.
  • A conclusão é que a Sentença B é falsa independentemente da convenção sobre \mathbb{N}, porque 0^{2} e 1^{2} já dão um paradoxo caso exista um único x.

Passo 6

Interpretação final sobre a diferença de significado:
  • Em \forall y\,\exists x\,P(x,y) (Sentença A) o x pode “depender” de y: para cada valor de y pode-se dar um x diferente que satisfaça P.
  • Em \exists x\,\forall y\,P(x,y) (Sentença B) existe um único x que precisa servir para todos os y simultaneamente.
    É essa dependência permitida na Sentença A e proibida na Sentença B que torna os significados distintos — trocar a ordem dos quantificadores geralmente muda completamente a afirmação.

Passo 7

Pequeno incentivo final: quantificadores são cruéis no senso comum, mas muito lógicos no exame! Sempre que vir uma sequência de quantificadores leia em voz alta (por exemplo: “para todo y existe algum x…”) e pergunte se o x pode depender de y. Isso ajuda muito na prova.

Resposta

Sentença A ( \forall y\in\mathbb{Z},\,\exists x\in\mathbb{N} tal que \;y^{2}=x): verdadeira se \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}; falsa se \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}.
Sentença B ( \exists x\in\mathbb{N},\,\forall y\in\mathbb{Z} tal que \;y^{2}=x): falsa.

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