Exercício 10: Explique por que as sentenças abaixo possuem significados distintos e determine quais são verdadeiras e quais são falsas:
tal que
.
Passo 1
O enunciado apresenta (ao menos) duas sentenças com quantificadores que vamos comparar e avaliar. Vou escrever as duas explicitamente para ficar claro (estou supondo que a outra sentença a que se refere é a que tem a ordem dos quantificadores trocada):
- Sentença A:
tal que . - Sentença B:
tal que .
O que se pede:
- Explicar por que essas duas sentenças têm significados distintos.
- Determinar, para cada uma, se é verdadeira ou falsa (e justificar).
Passo 2
O que significam os quantificadores — uma mini-aula prática:
-
significa “para todo inteiro (cada inteiro que eu escolher)”. -
significa “existe pelo menos um natural ” (pode depender do que foi escolhido antes, se houver um quantificador anterior).
A ordem importa porque em -
o valor de pode depender do escolhido (para cada eu posso escolher um possivelmente diferente). -
eu preciso encontrar um único que funcione para todos os ao mesmo tempo.
Exemplo não matemático rápido e intuitivo: “Para cada pessoa existe uma mãe” (pessoa mãe) é razoável; “Existe uma pessoa que é mãe de todas as pessoas” ( pessoa pessoa) é absurdo. Isso ilustra por que trocar a ordem muda o significado.
Passo 3
Análise da Sentença A (
tal que
) — raciocínio construtivo:
- Dado um
, calcule . Por definição de quadrado, é um inteiro não negativo, isto é, e . - Se a convenção adotada é
(naturais incluem o ), então pertence a . Logo, para cada basta escolher e a condição é satisfeita. Assim, sob essa convenção, a Sentença A é verdadeira — porque se dá uma construção explícita de em função de . - Se, em vez disso, a convenção adotada for
(naturais não incluem o ), então há um problema: para temos , mas sob essa convenção. Nesse caso a Sentença A é falsa (contraexemplo: escolha , não existe tal que ).
Resumo desta parte: a verdade da Sentença A depende da convenção sobre. Com incluindo ela é verdadeira; com começando em ela é falsa (por ).
Passo 4
Exemplos numéricos que ajudam a fixar:
- Se
: para escolhe-se ; para escolhe-se ; para escolhe-se . Então sempre existe um (possivelmente diferente) para cada . - Se
: para não há com . Portanto a sentença falha já com esse único .
Passo 5
Análise da Sentença B (
tal que
) — por que é falsa sempre:
- A Sentença B exige que exista um único
que seja igual a para todo ao mesmo tempo. - Se tal
existisse, então em particular e . Mas e . Logo teríamos , o que é impossível. Portanto não existe esse . - A conclusão é que a Sentença B é falsa independentemente da convenção sobre
, porque e já dão um paradoxo caso exista um único .
Passo 6
Interpretação final sobre a diferença de significado:
- Em
(Sentença A) o pode “depender” de : para cada valor de pode-se dar um diferente que satisfaça . - Em
(Sentença B) existe um único que precisa servir para todos os simultaneamente.
É essa dependência permitida na Sentença A e proibida na Sentença B que torna os significados distintos — trocar a ordem dos quantificadores geralmente muda completamente a afirmação.
Passo 7
Pequeno incentivo final: quantificadores são cruéis no senso comum, mas muito lógicos no exame! Sempre que vir uma sequência de quantificadores leia em voz alta (por exemplo: “para todo y existe algum x…”) e pergunte se o
pode depender de
. Isso ajuda muito na prova.
Resposta
Sentença A (
tal que
): verdadeira se
; falsa se
.
Sentença B ( tal que
): falsa.
Sentença B (