Exercício 09: Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças, de modo que:
- a
seja verdadeira,
- a
seja falsa,
- a
seja falsa,
- a
seja verdadeira.
para algum número real
.
Passo 1
O enunciado fornece a sentença aberta
com a condição
. A tarefa é transformar essa sentença aberta em quatro sentenças fechadas (ou seja, sem variáveis livres), de modo que:
- a 1ª seja verdadeira;
- a 2ª seja falsa;
- a 3ª seja falsa;
- a 4ª seja verdadeira.
Vou assumir que as variáveis
e
variam sobre os números reais, com a restrição já dada
.
Passo 2
Antes de construir as sentenças, vamos revisar rapidamente os dois tipos de quantificadores que vamos usar (isso é importante para “fechar” a sentença aberta):
-
O quantificador existencial
(lê-se “existe”) diz que existe pelo menos um elemento do domínio que satisfaz a propriedade. Quando dizemos “ ” estamos afirmando que há pelo menos um tal que é verdadeira. Um exemplo concreto: “ tal que ” é verdadeiro porque (ou ) funciona; o valor que comprov a verdade chama-se testemunha (ou exemplo). -
O quantificador universal
(lê-se “para todo”) diz que a propriedade vale para todos os elementos do domínio. “ ” afirma que nenhum falha em satisfazer . Para mostrar que uma sentença universal é falsa, basta um contraexemplo: um único que torne falsa.
Além disso, a ordem dos quantificadores importa:
não é equivalente, em geral, a
.
Passo 3
Estratégia para construir as quatro sentenças:
- Para tornar verdadeira uma sentença com
, basta fornecer um testemunha explícito (um valor de e/ou ) que satisfaça com . - Para tornar falsa uma sentença universal (ou mista com
antes de ), basta apresentar um contraexemplo: valores que mostram que a afirmação “para todo” não é válida. - Para sentenças com quantificadores mistos, raciocinar sobre a possibilidade de escolha de testemunhas depende da ordem dos quantificadores.
Vou montar sentenças fechadas usando combinações naturais de quantificadores e também exemplos numéricos quando for mais direto.
Passo 4
Construção da 1ª sentença (queremos que seja verdadeira).
Escolho a forma existencial dupla:
Explicação didática: essa sentença afirma que existe algum número real
e algum número real
para os quais
. Para provar que esta afirmação é verdadeira, basta fornecer um exemplo (testemunha). Tomemos
. Então
. Se escolhermos
(que satisfaz
), temos
. Portanto a sentença é verdadeira porque exibimos
e
que a tornam verdadeira.
Passo 5
Construção da 2ª sentença (queremos que seja falsa).
Escolho uma sentença universal seguida de existencial:
Explicação didática: essa afirmação diz “para todo
existe um
com
”. Para mostrar que essa sentença é falsa, basta encontrar um
tal que não exista nenhum
satisfazendo
. Observe que se pegarmos
então
. Não há nenhum
com
(pois
é sempre
, e
não é maior que nenhum número
). Assim
é um contraexemplo, o que prova que a sentença universal é falsa. Logo essa escolha atende ao pedido (2ª falsa).
Passo 6
Construção da 3ª sentença (queremos que seja falsa).
Escolho uma sentença existencial seguida de universal:
Interpretação: “existe um
que torna
maior que todo
”. Isso exigiria que
fosse maior que números arbitrariamente grandes (pois
pode ser qualquer número não negativo), ou seja, exigiria
na prática, o que é impossível para
. Mais formal: para qualquer
fixo,
com
tão grande quanto se queira, escolhemos
(ou simplesmente
maior que
), e então
falha. Portanto não existe tal
, e a sentença é falsa. Assim essa escolha satisfaz o requisito (3ª falsa).
Passo 7
Construção da 4ª sentença (queremos que seja verdadeira).
Escolho a forma universal em
seguida de existencial em
:
Interpretação: “para todo
existe um
tal que
”. Vamos justificar que isto é verdadeiro: dado qualquer
, basta escolher
com valor absoluto suficientemente grande para que
. Por exemplo, escolha
(esse
é real porque
). Então
o que implica
. Portanto, para cada
existe um
(construído assim) que satisfaz a desigualdade. Assim a sentença é verdadeira.
Passo 8
Resumo intuitivo do porquê das escolhas:
- (1)
é fácil de tornar verdadeira exibindo um par que funciona. - (2)
é falsa porque para com não existe menor que . - (3)
é falsa, pois nenhum pode vencer todos os (os vão até o infinito). - (4)
é verdadeira pois para cada podemos escolher grande o suficiente para que .