Exercício 09: Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças, de modo que:
  • a 1{ }^{\text {a }} seja verdadeira,
  • a 2{ }^{\mathrm{a}} seja falsa,
  • a 3{ }^{\text {a }} seja falsa,
  • a 4{ }^{\text {a }} seja verdadeira.
    z^{2}-10>\varepsilon para algum número real \varepsilon \geq 0.

Passo 1

O enunciado fornece a sentença aberta
z^{2}-10>\varepsilon
com a condição \varepsilon\ge 0. A tarefa é transformar essa sentença aberta em quatro sentenças fechadas (ou seja, sem variáveis livres), de modo que:
  • a 1ª seja verdadeira;
  • a 2ª seja falsa;
  • a 3ª seja falsa;
  • a 4ª seja verdadeira.
Vou assumir que as variáveis z e \varepsilon variam sobre os números reais, com a restrição já dada \varepsilon\ge 0.

Passo 2

Antes de construir as sentenças, vamos revisar rapidamente os dois tipos de quantificadores que vamos usar (isso é importante para “fechar” a sentença aberta):
  • O quantificador existencial \exists (lê-se “existe”) diz que existe pelo menos um elemento do domínio que satisfaz a propriedade. Quando dizemos “ \exists x\, P(x)” estamos afirmando que há pelo menos um x tal que P(x) é verdadeira. Um exemplo concreto: “ \exists x\in\mathbb{R} tal que x^2=4” é verdadeiro porque x=2 (ou x=-2) funciona; o valor que comprov a verdade chama-se testemunha (ou exemplo).
  • O quantificador universal \forall (lê-se “para todo”) diz que a propriedade vale para todos os elementos do domínio. “ \forall x\, P(x)” afirma que nenhum x falha em satisfazer P(x). Para mostrar que uma sentença universal é falsa, basta um contraexemplo: um único x que torne P(x) falsa.
Além disso, a ordem dos quantificadores importa: \forall x\,\exists y\,P(x,y) não é equivalente, em geral, a \exists y\,\forall x\,P(x,y).

Passo 3

Estratégia para construir as quatro sentenças:
  • Para tornar verdadeira uma sentença com \exists, basta fornecer um testemunha explícito (um valor de z e/ou \varepsilon) que satisfaça z^{2}-10>\varepsilon com \varepsilon\ge 0.
  • Para tornar falsa uma sentença universal (ou mista com \forall antes de \exists), basta apresentar um contraexemplo: valores que mostram que a afirmação “para todo” não é válida.
  • Para sentenças com quantificadores mistos, raciocinar sobre a possibilidade de escolha de testemunhas depende da ordem dos quantificadores.
Vou montar sentenças fechadas usando combinações naturais de quantificadores e também exemplos numéricos quando for mais direto.

Passo 4

Construção da 1ª sentença (queremos que seja verdadeira).
Escolho a forma existencial dupla:
\exists z\in\mathbb{R}\;\exists \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon\ge 0\text{ tais que }z^{2}-10>\varepsilon.
Explicação didática: essa sentença afirma que existe algum número real z e algum número real \varepsilon\ge 0 para os quais z^{2}-10>\varepsilon. Para provar que esta afirmação é verdadeira, basta fornecer um exemplo (testemunha). Tomemos z=4. Então z^{2}-10=16-10=6. Se escolhermos \varepsilon=1 (que satisfaz \varepsilon\ge 0), temos 6>1. Portanto a sentença é verdadeira porque exibimos z=4 e \varepsilon=1 que a tornam verdadeira.

Passo 5

Construção da 2ª sentença (queremos que seja falsa).
Escolho uma sentença universal seguida de existencial:
\forall z\in\mathbb{R}\;\exists \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon\ge 0\text{ tal que }z^{2}-10>\varepsilon.
Explicação didática: essa afirmação diz “para todo z existe um \varepsilon\ge 0 com z^{2}-10>\varepsilon”. Para mostrar que essa sentença é falsa, basta encontrar um z tal que não exista nenhum \varepsilon\ge 0 satisfazendo z^{2}-10>\varepsilon. Observe que se pegarmos z=0 então z^{2}-10=-10. Não há nenhum \varepsilon\ge 0 com -10>\varepsilon (pois \varepsilon\ge 0 é sempre \ge 0, e -10 não é maior que nenhum número \ge 0). Assim z=0 é um contraexemplo, o que prova que a sentença universal é falsa. Logo essa escolha atende ao pedido (2ª falsa).

Passo 6

Construção da 3ª sentença (queremos que seja falsa).
Escolho uma sentença existencial seguida de universal:
\exists z\in\mathbb{R}\;\forall \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon\ge 0\text{ temos }z^{2}-10>\varepsilon.
Interpretação: “existe um z que torna z^{2}-10 maior que todo \varepsilon\ge 0”. Isso exigiria que z^{2}-10 fosse maior que números arbitrariamente grandes (pois \varepsilon pode ser qualquer número não negativo), ou seja, exigiria z^{2}-10=+\infty na prática, o que é impossível para z\in\mathbb{R}. Mais formal: para qualquer z fixo, \forall \varepsilon\ge 0 com \varepsilon tão grande quanto se queira, escolhemos \varepsilon=z^{2}-10+1\ge 0 (ou simplesmente \varepsilon maior que z^{2}-10), e então z^{2}-10>\varepsilon falha. Portanto não existe tal z, e a sentença é falsa. Assim essa escolha satisfaz o requisito (3ª falsa).

Passo 7

Construção da 4ª sentença (queremos que seja verdadeira).
Escolho a forma universal em \varepsilon seguida de existencial em z:
\forall \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon\ge 0\\ \exists z\in\mathbb{R}\text{ tal que }z^{2}-10>\varepsilon.
Interpretação: “para todo \varepsilon\ge 0 existe um z tal que z^{2}-10>\varepsilon”. Vamos justificar que isto é verdadeiro: dado qualquer \varepsilon\ge 0, basta escolher z com valor absoluto suficientemente grande para que z^{2}>10+\varepsilon. Por exemplo, escolha z=\sqrt{10+\varepsilon}+1 (esse z é real porque 10+\varepsilon\ge 10>0). Então
z^{2}=\bigl(\sqrt{10+\varepsilon}+1\bigr)^{2}=10+\varepsilon+2\sqrt{10+\varepsilon}+1>10+\varepsilon,
o que implica z^{2}-10>\varepsilon. Portanto, para cada \varepsilon\ge 0 existe um z (construído assim) que satisfaz a desigualdade. Assim a sentença é verdadeira.

Passo 8

Resumo intuitivo do porquê das escolhas:
  • (1) \exists z\,\exists\varepsilon é fácil de tornar verdadeira exibindo um par que funciona.
  • (2) \forall z\,\exists\varepsilon é falsa porque para z com z^{2}-10\le 0 não existe \varepsilon\ge 0 menor que z^{2}-10.
  • (3) \exists z\,\forall\varepsilon é falsa, pois nenhum z pode vencer todos os \varepsilon\ge 0 (os \varepsilon vão até o infinito).
  • (4) \forall\varepsilon\,\exists z é verdadeira pois para cada \varepsilon podemos escolher z grande o suficiente para que z^{2}-10>\varepsilon.

Resposta

\exists z\in\mathbb{R}\;\exists \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon\ge 0\text{ tais que }z^{2}-10>\varepsilon.
\forall z\in\mathbb{R}\;\exists \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon\ge 0\text{ tal que }z^{2}-10>\varepsilon.
\exists z\in\mathbb{R}\;\forall \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon\ge 0\text{ temos }z^{2}-10>\varepsilon.
\forall \varepsilon\in\mathbb{R},\\ \varepsilon\ge 0\\ \exists z\in\mathbb{R}\text{ tal que }z^{2}-10>\varepsilon.

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