Exercício 09: Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças, de modo que:
  • a 1{ }^{\text {a }} seja verdadeira,
  • a 2{ }^{\mathrm{a}} seja falsa,
  • a 3{ }^{\text {a }} seja falsa,
  • a 4{ }^{\text {a }} seja verdadeira.
    \left|\frac{r^{2}}{27}-\frac{1}{r}\right|=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a sentença aberta
\left|\frac{r^{2}}{27}-\frac{1}{r}\right|=0
e pede que eu transforme essa sentença aberta em quatro sentenças (ou frases fechadas), de modo que:
  • a 1ª seja verdadeira,
  • a 2ª seja falsa,
  • a 3ª seja falsa,
  • a 4ª seja verdadeira.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão contém divisão por r, portanto r não pode ser 0 (se r=0 a expressão não está definida).
  • Preciso produzir sentenças fechadas (ou seja, substituir ou especificar r de forma que cada equação vire uma afirmação verdadeira ou falsa).

Passo 2

Lembrete importante sobre valor absoluto: para qualquer número (real ou complexo) x vale a equivalência
|x|=0 \iff x=0.
Explicando em palavras: o valor absoluto (ou módulo) de x é zero exatamente quando o próprio x é zero. Isso nos permite tirar o valor absoluto e resolver a equação equivalente sem o módulo.

Passo 3

Aplicando a equivalência ao nosso caso: \left|\dfrac{r^{2}}{27}-\dfrac{1}{r}\right|=0 é equivalente a
\frac{r^{2}}{27}-\frac{1}{r}=0,
desde que r\neq 0 (que já observamos como condição necessária).

Passo 4

Resolver \dfrac{r^{2}}{27}-\dfrac{1}{r}=0. Faço operações passo a passo e com explicação:
  • Multiplico ambos os lados por 27r para eliminar denominadores (posso fazer isto porque r\neq 0):
27r\left(\frac{r^{2}}{27}-\frac{1}{r}\right)=27r\cdot 0.
  • No lado esquerdo 27r\cdot\frac{r^{2}}{27}=r^{3} e 27r\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=-27. No lado direito fica 0. Logo:
r^{3}-27=0.
  • Assim obtemos
r^{3}=27.
  • A raiz cúbica real de 27 é 3, pois 3^{3}=27. Portanto, o único número real r que torna a equação verdadeira é r=3 (lembrando que r\neq 0). Se o domínio permitido incluir complexos, há outras duas raízes complexas, mas aqui usarei apenas reais para deixar tudo simples e bem direto.

Passo 5

Conclusão útil para montar as sentenças:
  • Para que a sentença fechada seja verdadeira, devo escolher r=3 (única solução real).
  • Para que seja falsa, basta escolher qualquer r\neq 3 com r\neq 0. Vou escolher valores simples e diferentes para as sentenças falsas, e depois mostrar rapidamente os cálculos que provam falsidade.

Passo 6

Construo as quatro sentenças substituindo r por números concretos e verifico o valor de cada uma.
  1. Escolho r=3. Verificação:
\left|\frac{3^{2}}{27}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{9}{27}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\right|=|0|=0,
logo a sentença com r=3 é verdadeira.
  1. Escolho r=1. Verificação:
\left|\frac{1^{2}}{27}-\frac{1}{1}\right|=\left|\frac{1}{27}-1\right|=\left|-\frac{26}{27}\right|=\frac{26}{27}\neq 0,
logo a sentença com r=1 é falsa.
  1. Escolho r=-3. Verificação:
\left|\frac{(-3)^{2}}{27}-\frac{1}{-3}\right|=\left|\frac{9}{27}+\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}\neq 0,
logo a sentença com r=-3 é falsa.
  1. Para a 4ª ser verdadeira preciso novamente de r=3 (única escolha real). Verificação já feita anteriormente:
\left|\frac{3^{2}}{27}-\frac{1}{3}\right|=0.

Resposta

\left|\dfrac{3^{2}}{27}-\dfrac{1}{3}\right|=0
\left|\dfrac{1^{2}}{27}-\dfrac{1}{1}\right|=0
\left|\dfrac{(-3)^{2}}{27}-\dfrac{1}{-3}\right|=0
\left|\dfrac{3^{2}}{27}-\dfrac{1}{3}\right|=0

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