Exercício 09: Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças, de modo que:
a 1{ }^{\text {a }} seja verdadeira,
a 2{ }^{\mathrm{a}} seja falsa,
a 3{ }^{\text {a }} seja falsa,
a 4{ }^{\text {a }} seja verdadeira. \left|\frac{r^{2}}{27}-\frac{1}{r}\right|=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a sentença aberta
\left|\frac{r^{2}}{27}-\frac{1}{r}\right|=0
e pede que eu transforme essa sentença aberta em quatro sentenças (ou frases fechadas), de modo que:
a 1ª seja verdadeira,
a 2ª seja falsa,
a 3ª seja falsa,
a 4ª seja verdadeira.
Informações relevantes dadas:
A expressão contém divisão por r, portanto r não pode ser 0 (se r=0 a expressão não está definida).
Preciso produzir sentenças fechadas (ou seja, substituir ou especificar r de forma que cada equação vire uma afirmação verdadeira ou falsa).
Passo 2
Lembrete importante sobre valor absoluto: para qualquer número (real ou complexo) x vale a equivalência
|x|=0 \iff x=0.
Explicando em palavras: o valor absoluto (ou módulo) de x é zero exatamente quando o próprio x é zero. Isso nos permite tirar o valor absoluto e resolver a equação equivalente sem o módulo.
Passo 3
Aplicando a equivalência ao nosso caso: \left|\dfrac{r^{2}}{27}-\dfrac{1}{r}\right|=0 é equivalente a
\frac{r^{2}}{27}-\frac{1}{r}=0,
desde que r\neq 0 (que já observamos como condição necessária).
Passo 4
Resolver \dfrac{r^{2}}{27}-\dfrac{1}{r}=0. Faço operações passo a passo e com explicação:
Multiplico ambos os lados por 27r para eliminar denominadores (posso fazer isto porque r\neq 0):
No lado esquerdo 27r\cdot\frac{r^{2}}{27}=r^{3} e 27r\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=-27. No lado direito fica 0. Logo:
r^{3}-27=0.
Assim obtemos
r^{3}=27.
A raiz cúbica real de 27 é 3, pois 3^{3}=27. Portanto, o único número real r que torna a equação verdadeira é r=3 (lembrando que r\neq 0). Se o domínio permitido incluir complexos, há outras duas raízes complexas, mas aqui usarei apenas reais para deixar tudo simples e bem direto.
Passo 5
Conclusão útil para montar as sentenças:
Para que a sentença fechada seja verdadeira, devo escolher r=3 (única solução real).
Para que seja falsa, basta escolher qualquer r\neq 3 com r\neq 0. Vou escolher valores simples e diferentes para as sentenças falsas, e depois mostrar rapidamente os cálculos que provam falsidade.
Passo 6
Construo as quatro sentenças substituindo r por números concretos e verifico o valor de cada uma.