Exercício 10

Expresse a dízima periódica 1,2373737 … como uma série infinita e expresse sua soma como razão p / q.
Resposta: 1225990

Passo 1

O enunciado pede para escrever a dízima periódica 1,2373737… como uma série infinita e depois calcular sua soma na forma de uma razão p/q. O conteúdo principal que vamos usar é soma de série geométrica, separando a parte não periódica da parte periódica.

Passo 2

Primeiro, separamos a parte não periódica de 1,2373737…:
– A parte inteira e o dígito 2 após a vírgula dão 1+0,2.
– A partir daí temos a parte periódica 0,0373737ldots, onde o bloco “37” se repete a cada duas casas decimais. Podemos escrever
0,0373737ldots = sumk=1^infty 37cdot10^-(2k+1)

Passo 3

Agora reconhecemos que é uma série geométrica de primeiro termo 37cdot10^-3 e razão 10^-2. Assim,
sumk=1^infty 37cdot10^-(2k+1) = 37cdot10^-3sumk=0^infty(10^-2)^k = 37cdot10^-31-10^-2 = 371000cdot10099 = 37990

Passo 4

Por fim, somamos a parte não periódica 1+0,2=1,2 com 37/990. Transformando 1,2=12/10=1188/990,
S = 1188990 + 37990 = 1225990

Resposta

1225/990

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