Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
(0,0),(1,1),(2,1) é o triângulo de vértices

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha ointC P,dx + Q,dy em torno do triângulo de vértices (0,0),(1,1),(2,1) no sentido anti-horário para o campo vec F = [e^x+y,,e^x-y]. Vamos usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha em integral dupla sobre a região R.

Passo 2

Pelo Teorema de Green vale:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
onde identificamos P(x,y)=e^x+y e Q(x,y)=e^x-y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = e^x-y, partial Ppartial y = e^x+y
Logo o integrando fica e^x-y - e^x+y.

Passo 4

Para montar a integral dupla precisamos descrever R. Observando o triângulo, nota-se que y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de x=y (reta y=x) até x=2y (reta y=x/2). Assim:
integral duplaR (e^x-y-e^x+y),dA = integraly=0^1 integralx=y^2y l(e^x-y - e^x+yr),dx,dy

Passo 5

Primeiro integramos em relação a x:
integralx=y^2y e^x-y,dx = [e^x-y]x=y^2y = e^y-1,
integralx=y^2y e^x+y,dx = [e^x+y]x=y^2y = e^3y-e^2y
Subtraindo, o integrando reduz a e^y-1 - (e^3y-e^2y) = e^y+e^2y-e^3y-1.

Passo 6

Agora integramos em y:
[\int_0^1 (e{y}+e{2y}-e^{3y}-1),dy
= \Bigl[e^{y} + \tfrac12e^{2y} - \tfrac13e^{3y} - y\Bigr]_{0}^{1}
= \Bigl(e + \tfrac{e^2}{2} - \tfrac{e^3}{3} - 1\Bigr) - \Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac13\Bigr).

Resposta

e + \tfrac{e^2}{2} - \tfrac{e^3}{3} - \tfrac{13}{6}

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