Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
é o triângulo de vértices
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
em torno do triângulo de vértices (0,0),(1,1),(2,1) no sentido anti-horário para o campo
. Vamos usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha em integral dupla sobre a região
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green vale:
onde identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando fica
Passo 4
Para montar a integral dupla precisamos descrever
. Observando o triângulo, nota-se que
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
(reta
) até
(reta
). Assim:
Passo 5
Primeiro integramos em relação a
:
Subtraindo, o integrando reduz a
Passo 6
Agora integramos em
:
[\int_0^1 (e{y}+e{2y}-e^{3y}-1),dy
= \Bigl[e^{y} + \tfrac12e^{2y} - \tfrac13e^{3y} - y\Bigr]_{0}^{1}
= \Bigl(e + \tfrac{e^2}{2} - \tfrac{e^3}{3} - 1\Bigr) - \Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac13\Bigr).
= \Bigl[e^{y} + \tfrac12e^{2y} - \tfrac13e^{3y} - y\Bigr]_{0}^{1}
= \Bigl(e + \tfrac{e^2}{2} - \tfrac{e^3}{3} - 1\Bigr) - \Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac13\Bigr).
Resposta
e + \tfrac{e^2}{2} - \tfrac{e^3}{3} - \tfrac{13}{6}