Exercício 10. (F. 3.5, ex.1) Sobre que condições nas constantes c e c^prime as condições de contorno f(b)=c f(a) e f^prime(b)=c^prime f^prime(a) são condições de contorno auto-adjuntas (isto é, r(f^prime barg-f g^prime)|a ^b=0 ) para o operador L(f)= (r f^prime)^prime+p f em [a, b] ?

Passo 1

O enunciado trata do operador de Sturm–Liouville
L(f) = l(r f'r)'+p f
no intervalo [a,b] com condições de contorno
f(b)=c,f(a), f'(b)=c',f'(a)
Queremos o critério para que essas condições sejam auto-adjuntas, isto é, façam valer
l[rl(f'bar g - fbar g'r)r]l|a^b=0
para quaisquer funções f,g que satisfaçam as mesmas condições de contorno.

Passo 2

Escrevemos o termo de fronteira usando as condições de contorno. Chamando
;F=f(a),;F'=f'(a),;G=g(a),;G'=g'(a),
temos
f(b)=cF, f'(b)=c'F', g(b)=cG, g'(b)=c'G'
Então
l[r(f'bar g - fbar g')r]l|a^b = r(b)l(c'F',(cG) - cF,(c'G')r) - r(a)l(F'bar G - Fbar G'r)

Passo 3

Expandimos e coletamos termos em F'bar G e em Fbar G':
r(b)l(c'bar c,F'bar G - c,c',Fbar G'r) - r(a)l(F'bar G - Fbar G'r)
Isso é
l[r(b),c'bar c - r(a)r],F'bar G ;-; l[r(b),c,c' - r(a)r],Fbar G'
Para que esse conjunto seja zero para quaisquer F,F',G,G', cada coeficiente deve anular-se.

Passo 4

Impondo anulação dos coeficientes obtemos o sistema
r(b),c'bar c = r(a), r(b),c,c' = r(a)
Note que a segunda é conjugada da primeira. Portanto a condição única necessária e suficiente é
c',bar c = r(a)r(b),
o que também força ;c,c'=r(a)/r(b).

Passo 5

Isolando c' em função de c, vem
c' = r(a)r(b),bar c
Em particular, se r(a),r(b)>0, então c'bar c é real e igual a r(a)/r(b).

Resposta

As condições de contorno são auto-adjuntas se, e só se,
c',bar c = r(a)r(b),
ou seja equivalently
c' = r(a)r(b),bar c

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