Questão 1 (3,0 pontos)
Dado o problema de valor inicial:
x y^prime prime-(x-1) y^prime-y=0 y(1)=1, y^prime(1)=1
(a) Verifique que o ponto x0=1 é um ponto ordinário da EDOLH
(b) Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até os cinco primeiros termos

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
x,y''-(x-1),y'-y=0
com as condições iniciais ,y(1)=1 e ,y'(1)=1.
Conteúdo: identificação de ponto ordinário e solução por séries de potências em torno de x0=1.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=0,
dividindo por x:
y''-x-1x,y'-1x,y=0
As funções
p(x)=-x-1x, q(x)=-1x
são analíticas em x=1. Logo x0=1 é ponto ordinário.

Passo 3

Para a solução por séries, faça s=x-1 e assuma
y(x)=sumn=0^inftyan,s^n
Então
y'=sumn=1^inftyn,an,s^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),an,s^n-2
Na variável s temos x=s+1 e a EDO vira
(s+1),y''-s,y'-y=0

Passo 4

Substituindo as séries e igualando coeficientes de s^m obtém-se a recorrência
(m+2),am+2=am - m,am+1,
ou seja
boxedam+2=am - m,am+1m+2, m>=0

Passo 5

Das condições iniciais em s=0 vem
a0=y(1)=1, a1=y'(1)=1
Aplicando a recorrência:
a2=a0-0cdot a12=12, a3=a1-1cdot a23=1/23=16,
a4=a2-2cdot a34 =tfrac12-tfrac264 =1/64=124,
a5=a3-3cdot a45 =tfrac16-tfrac3245 =1/245=1120

Resposta

(a) x0=1 é ponto ordinário, pois p(x) e q(x) são analíticas em x=1.
(b) Os cinco primeiros termos da série em torno de x=1 ( s=x-1) são
y(x)=a0 + a1s + a2s^2 + a3s^3 + a4s^4 + cdots =1+(x-1)+tfrac12(x-1)^2+tfrac16(x-1)^3+tfrac124(x-1)^4+cdots

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