Questão 1 (3,0 pontos)
Dado o problema de valor inicial:
(a) Verifique que o ponto
é um ponto ordinário da EDOLH
(b) Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até os cinco primeiros termos
Dado o problema de valor inicial:
(b) Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até os cinco primeiros termos
Passo 1
O enunciado dá a EDO de segunda ordem
com as condições iniciais
e
.
Conteúdo: identificação de ponto ordinário e solução por séries de potências em torno de .
Conteúdo: identificação de ponto ordinário e solução por séries de potências em torno de
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
dividindo por
:
As funções
são analíticas em
. Logo
é ponto ordinário.
Passo 3
Para a solução por séries, faça
e assuma
Então
Na variável
temos
e a EDO vira
Passo 4
Substituindo as séries e igualando coeficientes de
obtém-se a recorrência
ou seja
Passo 5
Das condições iniciais em
vem
Aplicando a recorrência:
Resposta
(a)
é ponto ordinário, pois
e
são analíticas em
.
(b) Os cinco primeiros termos da série em torno de (
) são
(b) Os cinco primeiros termos da série em torno de