3.6J Encontre o valor aproximado de e^-0.04, com erro menor do que 5 times 10^-4.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar ,e^-0.04, com erro menor que 5times10^-4.
O conteúdo aqui é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de e^x e o uso do critério do termo seguinte para estimar o resto de uma série alternada.

Passo 2

A série de Maclaurin de e^x é
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Tomando x=-0.04, obtemos
e^-0.04 = sumn=0^infty (-0.04)^nn!

Passo 3

Como ,(-0.04)^n/n! é alternado em sinal e de módulo decrescente para n grande, o erro ao truncar na ordem N satisfaz
l|RNr| <= l|(-0.04)^,N+1(N+1)!r|

Passo 4

Procuramos o menor N tal que
l|(-0.04)^,N+1(N+1)!r| < 5times10^-4
Calculamos
0.04^22! = 0.00162 = 8times10^-4 > 5times10^-4,
0.04^33! = 6.4times10^-56 approx 1,067times10^-5 < 5times10^-4
Logo, basta truncar até n=2 (ou seja, N=2) para garantir o erro desejado.

Passo 5

O polinômio de Taylor de ordem 2 é
S2 = sumn=0^2 (-0.04)^nn! = 1 - 0.04 + 0.04^22 = 1 - 0.04 + 0.0008 = 0.9608
O termo seguinte (ordem 3) tem módulo approx1,067times10^-5, bem abaixo de 5times10^-4.

Resposta

A aproximação desejada é
e^-0.04 approx 0.9608,
com erro menor que 5times10^-4.

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