Exercício 10. Generalizando o exercício anterior, considere B: R^m times R^m longrightarrow R^k uma transformação bilinear. Mostre que, para alpha: R longrightarrow R^m e beta: R longrightarrow R^m curvas diferenciáveis, vale
dd t B(alpha(t), beta(t))=B(alpha^prime(t), beta(t))+B(alpha(t), beta^prime(t)) para todo t in R

Passo 1

O enunciado pede para provar a “regra do produto” para uma aplicação bilinear
Bcolon R^mtimesR^mtoR^k
quando ela é composta com duas curvas diferenciáveis
alpha,betacolonRtoR^m.
O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia em dimensão maior, usando que B é diferenciável e conhecer sua diferencial em cada ponto.

Passo 2

Como B é bilinear, para quaisquer (u,v)inR^mtimesR^m e incrementos (h,ell) vale
B(u+h,;v+ell)-B(u,v) = B(h,v)+B(u,ell)+B(h,ell)
Mas B(h,ell) é bilinear em (h,ell) e, portanto, de ordem superior em |(h,ell)|. Logo B é diferenciável e sua diferencial em (u,v) é o mapa linear
D B(u,v)colon (h,ell);longmapsto;B(h,v)+B(u,ell)

Passo 3

Defina a curva em produto
F(t) = l(alpha(t),,beta(t)r)inR^mtimesR^m
Como alpha e beta são diferenciáveis,
F'(t) = l(alpha'(t),,beta'(t)r)
Pela regra da cadeia para composições de B com F, tem-se
ddt,Bl(alpha(t),beta(t)r) = D Bl(F(t)r)l[F'(t)r] = Bl(alpha'(t),,beta(t)r)+Bl(alpha(t),,beta'(t)r)

Resposta

ddt,Bl(alpha(t),beta(t)r) = Bl(alpha'(t),,beta(t)r)+Bl(alpha(t),,beta'(t)r)

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