Exercício 10. Generalizando o exercício anterior, considere
uma transformação bilinear. Mostre que, para
e
curvas diferenciáveis, vale
Passo 1
O enunciado pede para provar a “regra do produto” para uma aplicação bilinear
quando ela é composta com duas curvas diferenciáveis
.
O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia em dimensão maior, usando que é diferenciável e conhecer sua diferencial em cada ponto.
O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia em dimensão maior, usando que
Passo 2
Como
é bilinear, para quaisquer
e incrementos
vale
Mas
é bilinear em
e, portanto, de ordem superior em
. Logo
é diferenciável e sua diferencial em
é o mapa linear
Passo 3
Defina a curva em produto
Como
e
são diferenciáveis,
Pela regra da cadeia para composições de
com
, tem-se