Questão 2. Considere os subconjuntos de
dados por
Sabendo que
é um subespaço vetorial de
:
(a)
Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b)
Determine os subespaços
e
.
(c)
Exiba uma base e dê dimensão dos subespaços obtidos no item (b) .
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define em
os conjuntos
e pede:
(a) mostrar que é subespaço,
(b) determinar e
,
(c) exibir uma base e dar a dimensão dos subespaços do item (b).
(a) mostrar que
(b) determinar
(c) exibir uma base e dar a dimensão dos subespaços do item (b).
Conteúdo: subespaços definidos por equações lineares, soma e interseção, bases e dimensões.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
observe que
onde
é forma linear. O núcleo de toda forma linear é subespaço. Alternativamente, note que
)
satisfaz
,
) se
então
,
) para
tem
.
Logo é fechado em soma e escalar e contém o zero.
Logo
Passo 3
Parametrizamos
resolvendo
. Tome
livres e
Assim
Uma base de
é
e
.
Passo 4
Parametrizamos
pelas duas equações. De
segue por substituição
Escolhendo
livres,
Então
Passo 5
De
resulta
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
por ser o núcleo da forma linear
.
(b) e
.
(c)
– Para : base
,
.
– Para : base
,
.
(b)
(c)
– Para
– Para