Questão 2. Considere os subconjuntos de R^4 dados por
W1=(x, y, z, w) in R^4, x+z+w=0 e W2=(x, y, z, w) in R^4, 2 x-y+w=0 e x+y+3 z+2 w=0
Sabendo que W2 é um subespaço vetorial de R^4 :
(a) (0,2) Mostre que W1 é um subespaço vetorial de R^4.
(b) (0,4) Determine os subespaços W1+W2 e W1 cap W2.
(c) (0,2) Exiba uma base e dê dimensão dos subespaços obtidos no item (b) .

Passo 1

O enunciado define em R^4 os conjuntos
W1=(x,y,z,w)mid x+z+w=0,
W2=(x,y,z,w)mid 2x-y+w=0,;x+y+3z+2w=0,
e pede:
(a) mostrar que W1 é subespaço,
(b) determinar W1+W2 e W1cap W2,
(c) exibir uma base e dar a dimensão dos subespaços do item (b).
Conteúdo: subespaços definidos por equações lineares, soma e interseção, bases e dimensões.

Passo 2

Para mostrar que W1 é subespaço de R^4 observe que W1=ker L onde
L(x,y,z,w)=x+z+w
é forma linear. O núcleo de toda forma linear é subespaço. Alternativamente, note que
1) (0,0,0,0) satisfaz 0+0+0=0,
2) se u,vin W1 então L(u+v)=L(u)+L(v)=0+0=0,
3) para alphainR tem L(alpha u)=alpha L(u)=alphacdot0=0.
Logo W1 é fechado em soma e escalar e contém o zero.

Passo 3

Parametrizamos W1 resolvendo x+z+w=0. Tome y,z,w livres e
x=-z-w
Assim
(x,y,z,w)=y,(0,1,0,0)+z,(-1,0,1,0)+w,(-1,0,0,1)
Uma base de W1 é
(0,1,0,0),,(-1,0,1,0),,(-1,0,0,1),
e dim W1=3.

Passo 4

Parametrizamos W2 pelas duas equações. De
2x - y + w = 0, x + y + 3z + 2w = 0
segue por substituição
x + z + w = 0, y = -2z - w, x = -z - w
Escolhendo z, w livres,
(x, y, z, w) = z cdot (-1, -2, 1, 0) + w cdot (-1, -1, 0, 1)
Então
W2 = span(-1, -2, 1, 0), ; (-1, -1, 0, 1),
dim W2 = 2, e observa-se que todo (x, y, z, w) in W2 satisfaz x + z + w = 0, i.e.\ W2 subseteq W1.

Passo 5

De W2subseteq W1 resulta
W1cap W2=W2,
W1+W2=W1

Resposta

(a) W1 é subespaço vetorial de R^4 por ser o núcleo da forma linear L(x,y,z,w)=x+z+w.
(b) W1+W2=W1 e W1cap W2=W2.
(c)
– Para W1+W2=W1: base (0,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1), dim=3.
– Para W1cap W2=W2: base (-1,-2,1,0),(-1,-1,0,1), dim=2.

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