1. Em quais números a seguinte função é derivável?
f(x)=cc -1-2 x, & x<-1 x^2, & -1 <= x <= 1 x, & x>1
Dê uma expressão para a função f^prime.

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= -1-2x,&x<-1, x^2,&-1<= x<=1, x,&x>1,
e pede em quais pontos ela é derivável e qual é a expressão de f'. Vamos usar definição de derivada em intervalos abertos e checar os pontos críticos x=-1 e x=1.

Passo 2

Em cada parte, a função é elemental (polinomial ou afim), logo derivável nos intervalos abertos:
  • Para x<-1, f(x)=-1-2x e
f'(x)=-2
  • Para -1<x<1, f(x)=x^2 e
f'(x)=2x
  • Para x>1, f(x)=x e
f'(x)=1

Passo 3

Checamos x=-1. Primeiro a continuidade:
limxto -1^-f(x)=-1-2(-1)=1, f(-1)=(-1)^2=1,
logo contínua. Depois as derivadas laterais:
f'-( -1)=-2, f'+( -1)=2(-1)=-2
Como coincidem, f é derivável em x=-1 e vale f'(-1)=-2.

Passo 4

Checamos x=1. Primeiro a continuidade:
limxto1^-f(x)=1^2=1, limxto1^+f(x)=1,
portanto contínua. As derivadas laterais são
f'-(1)=2cdot1=2, f'+(1)=1
Como 2neq1, não há derivada em x=1.

Resposta

A função f é derivável em todo R exceto em x=1. Sua derivada é
f'(x)= -2,&x<-1, 2x,&-1<= x<1, 1,&x>1

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