e pede em quais pontos ela é derivável e qual é a expressão de f'. Vamos usar definição de derivada em intervalos abertos e checar os pontos críticos x=-1 e x=1.
Passo 2
Em cada parte, a função é elemental (polinomial ou afim), logo derivável nos intervalos abertos:
Para x<-1, f(x)=-1-2x e
f'(x)=-2
Para -1<x<1, f(x)=x^2 e
f'(x)=2x
Para x>1, f(x)=x e
f'(x)=1
Passo 3
Checamos x=-1. Primeiro a continuidade:
limxto -1^-f(x)=-1-2(-1)=1, f(-1)=(-1)^2=1,
logo contínua. Depois as derivadas laterais:
f'-( -1)=-2, f'+( -1)=2(-1)=-2
Como coincidem, f é derivável em x=-1 e vale f'(-1)=-2.
Passo 4
Checamos x=1. Primeiro a continuidade:
limxto1^-f(x)=1^2=1, limxto1^+f(x)=1,
portanto contínua. As derivadas laterais são
f'-(1)=2cdot1=2, f'+(1)=1
Como 2neq1, não há derivada em x=1.
Resposta
A função f é derivável em todo R exceto em x=1. Sua derivada é