Exercício 19. (D. 4.3, ex.5) Use a transformada de Fourier para resolver o problema:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x)+g(t, x), x in R, t>0 u(0, x)=f(x), x in R

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Fourier em
O conteúdo é a transformada de Fourier em (x] e o princípio de Duhamel para equações lineares.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Fourier em x:
hat u(t,xi)=Fxl[u(t,x)r](xi), hat g(t,xi)=Fxl[g(t,x)r](xi), hat f(xi)=Fxl[f(x)r](xi)
Como Fx[partial^2xu]=-(xi)^2hat u e a derivada em t passa para fora da integral, obtemos a EDO
partial hat upartial t(t,xi)=-k,xi^2,hat u(t,xi)+hat g(t,xi), hat u(0,xi)=hat f(xi)

Passo 3

Resolvemos a EDO com fator integrante e^kxi^2 t:
ddtl(hat u(t,xi),e^kxi^2 tr) =hat g(t,xi),e^kxi^2 t
Integrando de 0 a t:
hat u(t,xi),e^kxi^2 t =hat f(xi) +integral0^that g(s,xi),e^kxi^2 s,ds
Rightarrow hat u(t,xi) =e^-kxi^2 t,hat f(xi) +integral0^te^-kxi^2(t-s),hat g(s,xi),ds

Passo 4

Voltando ao domínio x pela transformada inversa, e usando
Fx^-1l[e^-kxi^2taur](x) =1raiz4pi ktau exp!l(-x^24ktaur)equiv Gtau(x),
che é o núcleo gaussiano, obtemos a solução
u(t,x) =(Gt * f)(x) +integral0^t(G,t-s * g(s,cdot))(x),ds

Resposta

boxed u(t,x) =integralRe^-(x-y)^24ktraiz4pi k,t;f(y),dy ;+;integral0^t!integralRe^-(x-y)^24k(t-s)raiz4pi k,(t-s);g(s,y),dy,ds

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