- Exercício 10

  • O gerente geral da uma cadeia sul americana de supermercados estima a percentagem dos seus estabelecimentos atingir a meta de vendas anual equivalente a doze milhões de dólares da seguinte forma:
Proporção do estabelecimento-(P) Probabilidade-Pr(P)
\mathrm{P} 1=0,60 \operatorname{Pr}(\mathrm{P} 1)=0,20
\mathrm{P} 2=0,70 \operatorname{Pr}(\mathrm{P} 2)=0,50
\mathrm{P} 3=0,80 \operatorname{Pr}(\mathrm{P} 3)=0,30
  • Ou seja, o gerente-geral, estima com base na experiência anterior, que há uma probabilidade de 0.20 que 60 \% das lojas chega a doze milhões em vendas anuais, e uma probabilidade de 0,50 que 70 \% chega a meta, e, finalmente, uma probabilidade de 0,30 que 80 \% chega a meta.
  • Selecionar aleatoriamente um dos negócios.
  • Pergunta-se:
    a) Qual é a probabilidade de que este tenha atingido a meta considerada?
    b) Uma vez que esta empresa conseguiu o objetivo, qual é a probabilidade de que \mathbf{8 0 \%} das empresas venderam \mathbf{1 2} milhões dólares?

Passo 1

O enunciado apresenta três cenários P_1,P_2,P_3 para a proporção de lojas que atingem doze milhões, com probabilidades \Pr(P_1)=0,20, \Pr(P_2)=0,50 e \Pr(P_3)=0,30, e sucessos condicionais \Pr(\text{sucesso}\mid P_1)=0,60, \Pr(\text{sucesso}\mid P_2)=0,70, \Pr(\text{sucesso}\mid P_3)=0,80.
Conteúdo: lei da probabilidade total e Teorema de Bayes.

Passo 2

Usamos a lei da probabilidade total para achar a chance de selecionar uma loja que atingiu a meta:
\Pr(\text{sucesso}) =\sum_{i=1}^3\Pr(\text{sucesso}\mid P_i)\Pr(P_i) =0,20\cdot0,60+0,50\cdot0,70+0,30\cdot0,80.
Calculando:
0,20\cdot0,60=0,12,\quad 0,50\cdot0,70=0,35,\quad 0,30\cdot0,80=0,24,
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\Pr(\text{sucesso})=0,12+0,35+0,24=0,71.

Passo 3

Para saber a probabilidade de o cenário ser P_3 dado que a loja selecionada teve sucesso, aplicamos o Teorema de Bayes:
\Pr(P_3\mid \text{sucesso}) =\frac{\Pr(\text{sucesso}\mid P_3)\Pr(P_3)}{\Pr(\text{sucesso})} =\frac{0,80\cdot0,30}{0,71} =\frac{0,24}{0,71}\approx0,3380.

Resposta

(a) \Pr(\text{sucesso})=0,71
(b) \Pr(P_3\mid \text{sucesso})\approx0,3380

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