- Exercício 9

  • Considerando 18 atiradores classificados em 4 grupos.
  • No primeiro grupo há 5 atiradores com probabilidade \mathbf{0 , 8} de acertar o alvo, o segundo é de 7 com probabilidade 0,7 , no terceiro é de 4 com probabilidade 0,6 e no último é de 2 com probabilidade \mathbf{0 , 5} de acertar o alvo.
  • Pergunta-se:
    \checkmark Escolhe-se aleatoriamente um atirador e ele atira e erra o alvo. Qual o grupo mais provável que ele pertence?

Passo 1

O enunciado descreve quatro grupos de atiradores, com tamanhos e probabilidades de acerto diferentes, e pergunta qual grupo é mais provável de ter sido sorteado quando vemos que o atirador errou o alvo.
Conteúdo: probabilidade condicionada e Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos
G_i: “o atirador pertence ao grupo i” com
P(G_i)=\frac{n_i}{18},
onde n_1=5, n_2=7, n_3=4, n_4=2.
E: “o atirador erra o alvo”.
A verossimilhança em cada grupo é
P(E\mid G_i)=1-p_i,
com p_1=0,8, p_2=0,7, p_3=0,6, p_4=0,5.

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade a posteriori é
P(G_i\mid E) =\frac{P(G_i)\,P(E\mid G_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{4}P(G_j)\,P(E\mid G_j)}.

Passo 4

Para comparar sem precisar calcular o denominador completo, basta ver os numeradores
w_i = P(G_i)\,P(E\mid G_i) = \frac{n_i}{18}\,(1-p_i).
Como o fator \tfrac1{18} é comum, comparamos n_i\,(1-p_i).

Passo 5

Calculamos
n_1(1-p_1)=5\cdot(1-0,8)=5\cdot0,2=1,
n_2(1-p_2)=7\cdot(1-0,7)=7\cdot0,3=2,1,
n_3(1-p_3)=4\cdot(1-0,6)=4\cdot0,4=1,6,
n_4(1-p_4)=2\cdot(1-0,5)=2\cdot0,5=1.

Passo 6

O maior valor de n_i(1-p_i) é 2,1, que corresponde ao grupo 2.

Resposta

O atirador que errou tem maior probabilidade de pertencer ao segundo grupo.

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