- Exercício 9
- Considerando 18 atiradores classificados em 4 grupos.
- No primeiro grupo há 5 atiradores com probabilidade
de acertar o alvo, o segundo é de 7 com probabilidade 0,7 , no terceiro é de 4 com probabilidade 0,6 e no último é de 2 com probabilidade
de acertar o alvo.
- Pergunta-se:
Escolhe-se aleatoriamente um atirador e ele atira e erra o alvo. Qual o grupo mais provável que ele pertence?
Passo 1
O enunciado descreve quatro grupos de atiradores, com tamanhos e probabilidades de acerto diferentes, e pergunta qual grupo é mais provável de ter sido sorteado quando vemos que o atirador errou o alvo.
Conteúdo: probabilidade condicionada e Teorema de Bayes.
Conteúdo: probabilidade condicionada e Teorema de Bayes.
Passo 2
Definimos os eventos
– : “o atirador pertence ao grupo
” com
–
onde
,
,
,
.
– : “o atirador erra o alvo”.
A verossimilhança em cada grupo é
–
A verossimilhança em cada grupo é
com
,
,
,
.
Passo 3
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade a posteriori é
Passo 4
Para comparar sem precisar calcular o denominador completo, basta ver os numeradores
Como o fator
é comum, comparamos
.
Passo 5
Calculamos
Passo 6
O maior valor de
é
, que corresponde ao grupo 2.
Resposta
O atirador que errou tem maior probabilidade de pertencer ao segundo grupo.