- Exercício 8

  • Em uma linha de produção há dois processos, “A” e “B”. No processo “A” 20% são defeituosos e no processo “B” 25%.
  • Em uma amostra de 300 produtos, 200 são do processo “A” e 100 do processo “B”.
  • Pergunta-se:
    a) Se o produto é extraído ao acaso, qual a probabilidade de que ele está com defeito?
    b) Se ao extrair o produto ele é defeituoso, qual a probabilidade de que ele é do processo A?

Passo 1

O enunciado apresenta uma linha de produção com dois processos, A e B. Do total de 300 produtos, 200 vêm de A (com taxa de defeito de 20%) e 100 vêm de B (com taxa de defeito de 25%). Vamos usar a lei da probabilidade total para calcular a probabilidade de um produto ser defeituoso e, em seguida, o teorema de Bayes para achar a probabilidade de ter saído de A dado que está defeituoso.

Passo 2

Calculamos primeiro a probabilidade de defeito, P(D), onde D é o evento “produto defeituoso”. Pela lei da probabilidade total,
P(D)=P(A)\,P(D\mid A)+P(B)\,P(D\mid B).
Aqui
P(A)=\frac{200}{300}=\tfrac{2}{3},\quad P(D\mid A)=0,20=\tfrac{1}{5},
P(B)=\frac{100}{300}=\tfrac{1}{3},\quad P(D\mid B)=0,25=\tfrac{1}{4}.
Substituindo,
P(D)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{2}{15}+\frac{1}{12} =\frac{8}{60}+\frac{5}{60} =\frac{13}{60}\approx0,2167.

Passo 3

Agora usamos o teorema de Bayes para achar P(A\mid D):
P(A\mid D)=\frac{P(A)\,P(D\mid A)}{P(D)} =\frac{\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{5}}{\tfrac{13}{60}} =\frac{\tfrac{2}{15}}{\tfrac{13}{60}} =\frac{2}{15}\cdot\frac{60}{13} =\frac{120}{195} =\frac{8}{13}\approx0,6154.

Resposta

(a) \displaystyle P(D)=\tfrac{13}{60}\approx0,2167 (21,67 %)
(b) \displaystyle P(A\mid D)=\tfrac{8}{13}\approx0,6154 (61,54 %)

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