Exercício 10. (Hounie capítulo 2 ex. 2 e 5) Calcule as seguintes derivadas no sentido das distribuições:
. (Dica: Tente fazer os exercícios 20 a) e b) antes)
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
no sentido das distribuições. Vamos usar que a distribuição derivada de uma função contínua e localmente integrável coincide com sua derivada clássica fora dos pontos de descontinuidade, e que saltos de valor geram termos proporcionais a
. Também usaremos as noções de função sinal () e de delta de Dirac (
).
Passo 2
Para
ou seja, a função sinal
Como , não aparece termo em
na derivada distribuição. Logo
Passo 3
A função é constante em cada semirreta, com salto de tamanho
em
. A derivada distribuição de uma função que é constante de cada lado de um ponto com salto
é
. Como a derivada clássica de fora de 0 vale zero, temos
Portanto
Passo 4
Cada derivação extra de
gera a sua derivada no sentido das distribuições. Assim, a terceira derivada é
e, por indução, ao aplicar
derivadas sobre
, obtemos