Exercício 10. (Hounie capítulo 2 ex. 2 e 5) Calcule as seguintes derivadas no sentido das distribuições:
d^kd x^k|x|. (Dica: Tente fazer os exercícios 20 a) e b) antes)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem da função no sentido das distribuições. Vamos usar que a distribuição derivada de uma função contínua e localmente integrável coincide com sua derivada clássica fora dos pontos de descontinuidade, e que saltos de valor geram termos proporcionais a . Também usaremos as noções de função sinal () e de delta de Dirac ( ).

Passo 2

Para
ou seja, a função sinal
Como , não aparece termo em na derivada distribuição. Logo

Passo 3

A função é constante em cada semirreta, com salto de tamanho
em . A derivada distribuição de uma função que é constante de cada lado de um ponto com salto é . Como a derivada clássica de fora de 0 vale zero, temos
Portanto

Passo 4

Cada derivação extra de de<a gera a sua derivada no sentido das distribuições. Assim, a terceira derivada é
d^3dx^3lvert xrvert =ddxl(2,de<ar) =2,de<a',
e, por indução, ao aplicar k-2 derivadas sobre 2,de<a, obtemos
d^kdx^klvert xrvert =2,de<a^(k-2), k>=2

Resposta

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