Exercício 10. (Hounie capítulo 2 ex. 2 e 5) Calcule as seguintes derivadas no sentido das distribuições:
(dd x+a^2)(H(x) cos (a x)a).

Passo 1

O enunciado pede para calcular, no sentido das distribuições,
l(ddx+a^2r)l(H(x)cos(ax)ar),
onde H(x) é a função de Heaviside. Vamos usar a regra de derivação de produto envolvendo H(x) e o fato de que
ddxl(H(x)f(x)r)=H(x)f'(x)+f(0),de<a(x)

Passo 2

Definimos f(x)=cos(ax)a. Então
f'(x)=ddxl(cos(ax)ar) =-asin(ax)a=-sin(ax),
e ainda
f(0)=cos(0)a=1a

Passo 3

Aplicando a derivada de H(x),f(x) como distribuição, obtemos
ddxl(H(x)cos(ax)ar) =H(x)l(-sin(ax)r)+1a,de<a(x) =-H(x)sin(ax)+1a,de<a(x)

Passo 4

Agora somamos a^2 vezes a função original:
a^2l(H(x)cos(ax)ar) =a,H(x)cos(ax)
Logo,
l(ddx+a^2r)l(H(x)cos(ax)ar) =-H(x)sin(ax)+a,H(x)cos(ax)+1a,de<a(x)

Resposta

l(ddx+a^2r)l(H(x)cos(ax)ar) =H(x)l(acos(ax)-sin(ax)r)+1a,de<a(x)

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