Exercício 10. (Hounie capítulo 2 ex. 2 e 5) Calcule as seguintes derivadas no sentido das distribuições:
(dd x-a)(H(x) e^a x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular, no sentido das distribuições, a ação do operador ddx-a sobre a função H(x)e^ax, onde H(x) é a função de Heaviside e a é uma constante.
O conteúdo necessário envolve a derivada de uma distribuição (em particular, de H) e a regra do produto.

Passo 2

Usamos a linearidade do operador e a regra do produto para distribuições:
l(ddx-ar)l[H(x)e^axr] =ddxl[H(x)e^axr];-;a,H(x)e^ax

Passo 3

Pela regra do produto,
ddxl[H(x)e^axr] =H'(x),e^ax+H(x),ddxe^ax = de<a(x),e^ax+H(x),a,e^ax

Passo 4

Substituindo na expressão do Passo 2 e observando que H(x),a,e^ax cancela com -a,H(x)e^ax, obtemos
l(ddx-ar)l[H(x)e^axr] =de<a(x),e^ax|x=0 =de<a(x)

Resposta

l(tfracddx-ar)l[H(x)e^axr] =de<a(x)

Exercícios relacionados