Exercício 9. (Hounie capítulo 1 ex. 8) Prove que não existe
tal que
para todo
. (Dica: observe que se isto fosse verdade, teríamos
para
. Isto implicaria que
q.t.p em
, e, portanto, também em
, já que
tem medida nula. De fato, basta usar os resultados vistos em sala de aula. Detalhe o argumento)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe função
tal que, para todo
,
Em termos de distribuições, isso equivale a dizer que não há nenhuma função localmente integrável que represente a distribuição
(delta de Dirac) centrada em
. Vamos usar o resultado visto em sala de aula: se
e
para todo
, então
quase em toda parte em
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista
com
Escolha agora
. Como
, a condição dada implica
Mas
é arbitrária em
, ou seja, a distribuição associada a
se anula em todas as funções teste suportadas em
.
Passo 3
Pelo resultado citado, dessa anulação segue que
Como o conjunto
tem medida de Lebesgue zero, concluímos que
quase em toda parte em
. Em particular, para qualquer
teríamos
Passo 4
Chegamos a uma contradição com a condição inicial, que exigia
pois acabamos de deduzir que a integral sempre seria zero, enquanto
pode ser diferente de zero para muitas
. Logo, não existe tal
.
Resposta
Não existe
satisfazendo