Exercício 9. (Hounie capítulo 1 ex. 8) Prove que não existe f in Ll o c^1(R) tal que integral f(x) phi(x) d x=phi(0) para todo phi in Cc^infty(R). (Dica: observe que se isto fosse verdade, teríamos integral f(x) phi(x) d x=0 para phi in Cc^infty(R backslash0). Isto implicaria que f=0 q.t.p em R backslash0, e, portanto, também em R, já que 0 tem medida nula. De fato, basta usar os resultados vistos em sala de aula. Detalhe o argumento)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe função fin Lloc^1(R) tal que, para todo phiin Cc^infty(R),
integralR f(x),phi(x),dx ;=;phi(0)
Em termos de distribuições, isso equivale a dizer que não há nenhuma função localmente integrável que represente a distribuição de<a (delta de Dirac) centrada em 0. Vamos usar o resultado visto em sala de aula: se fin Lloc^1(U) e
integralU f(x),phi(x),dx = 0
para todo phiin Cc^infty(U), então f=0 quase em toda parte em U.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista fin Lloc^1(R) com
integralR f(x),phi(x),dx = phi(0) forall,phiin Cc^infty(R)
Escolha agora psiin Cc^infty(Rsetminus0). Como psi(0)=0, a condição dada implica
integralR f(x),psi(x),dx ;=;psi(0)=0
Mas psi é arbitrária em Cc^infty(Rsetminus0), ou seja, a distribuição associada a f se anula em todas as funções teste suportadas em Rsetminus0.

Passo 3

Pelo resultado citado, dessa anulação segue que
f(x)=0 quase em toda parte em Rsetminus0
Como o conjunto 0 tem medida de Lebesgue zero, concluímos que f=0 quase em toda parte em R. Em particular, para qualquer phiin Cc^infty(R) teríamos
integralR f(x),phi(x),dx = 0

Passo 4

Chegamos a uma contradição com a condição inicial, que exigia
integralR f(x),phi(x),dx = phi(0),
pois acabamos de deduzir que a integral sempre seria zero, enquanto phi(0) pode ser diferente de zero para muitas phi. Logo, não existe tal f.

Resposta

Não existe fin Lloc^1(R) satisfazendo
integralR f(x),phi(x),dx = phi(0) forall,phiin Cc^infty(R)

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