Verifique se os planos π1 e π2 abaixo são iguais. Justifique.
π1:lx=1+α-12 β y=2-α+23 β z=1+2 α-β π2:(x, y, z)=(2,1,3)+α(-1,1,-2)+β(-3,4,-6).

Passo 1

O enunciado dá dois planos em forma paramétrica e pede para verificar se são o mesmo plano. O conteúdo aqui é identificar vetores diretores, calcular o vetor normal de cada plano via produto vetorial, obter a equação cartesiana de um e testar se o ponto de base do outro satisfaz essa equação.

Passo 2

Para pi1 extraímos os vetores diretores associados a alpha e beta:
v1 = (1,-1,2), v2 = l(-tfrac12,tfrac23,-1r)
O vetor normal é
n1 = v1times v2

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
n1 = i & j & k 1 & -1 & 2 -tfrac12 & tfrac23 & -1 =( -tfrac13,,0,,tfrac16)
que é paralelo a (2,0,-1). Logo podemos tomar
n1 = (2,0,-1)

Passo 4

Usando o ponto de base de pi1, que ocorre em alpha=0,beta=0, isto é P0=(1,2,1), a equação cartesiana fica
2(x-1)+0,(y-2)-1,(z-1)=0 Longrightarrow 2x - z - 1 = 0

Passo 5

Para pi2 os vetores diretores são
w1=(-1,1,-2), w2=(-3,4,-6)
O normal é
n2= w1times w2=(2,0,-1),
o mesmo n1 (portanto planos paralelos ou coincidentes).

Passo 6

O ponto de base de pi2 é Q=(2,1,3). Substituindo em 2x - z -1=0 temos
2cdot2 - 3 - 1 = 0,
ou seja, Q pertence ao plano cartesiano de pi1. Como têm mesmo normal e um ponto em comum, são exatamente o mesmo plano.

Resposta

Os planos pi1 e pi2 coincidem.

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