Exercício 10. Em um jogo de tabuleiro para dois participantes, em cada rodada o atacante lança um dado e o defensor lança outro. O atacante vence se o número obtido no lançamento do seu dado for maior do que o número obtido no lançamento do dado do defensor. Caso contrário, vence o defensor. Os dados utilizados nesse jogo são dados convencionais, em formato cúbico, com suas faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade do atacante vencer uma rodada?

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que o atacante e o defensor lançam, cada um, um dado honesto de seis faces numeradas de 1 a 6. O atacante vence se o valor do seu dado for estritamente maior que o valor do dado do defensor; caso contrário (incluindo empate), vence o defensor. O conteúdo é probabilidade em espaços finitos, com variáveis aleatórias independentes e uniformes.

Passo 2

Sejam X e Y as variáveis aleatórias que representam, respectivamente, o resultado do dado do atacante e do defensor. Como os dados são independentes e uniformes em \{1,2,3,4,5,6\}, queremos calcular
P(\text{atacante vence}) = P(X > Y).
O espaço amostral de (X,Y) tem \lvert\Omega\rvert = 6 \times 6 = 36 resultados possíveis igualmente prováveis.

Passo 3

Para contar os resultados em que X>Y, note que:
\begin{aligned} \text{se }Y=1,&\text{ então }X\in\{2,3,4,5,6\}\;\Rightarrow 5\text{ casos},\\\ \text{se }Y=2,&\text{ então }X\in\{3,4,5,6\}\;\Rightarrow 4\text{ casos},\\\ \text{se }Y=3,&\text{ então }X\in\{4,5,6\}\;\Rightarrow 3\text{ casos},\\\ \text{se }Y=4,&\text{ então }X\in\{5,6\}\;\Rightarrow 2\text{ casos},\\\ \text{se }Y=5,&\text{ então }X\in\{6\}\;\Rightarrow 1\text{ caso},\\\ \text{se }Y=6,&\text{ então não há }X>Y\;\Rightarrow 0\text{ casos}. \end{aligned}ãããããããá
Somando os casos favoráveis:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15.
Portanto,
P(X>Y) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{12}

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