Exercício 13. Um bispo, um padre e mais quatro fiéis estão em uma fila indiana. Supondo que o bispo e o padre não ficam juntos, qual a probabilidade de que as extremidades da fila sejam ocupadas por eles?
Passo 1
O enunciado envolve
pessoas em fila indiana: o bispo (B), o padre § e mais quatro fiéis. Queremos a probabilidade de que
e
ocupem as extremidades da fila, sabendo que eles não ficam juntos (ou seja, não são vizinhos). Vamos usar contagem de permutações e probabilidade condicional:
– calcular o número total de arranjos em que e
não são adjacentes;
– calcular quantos desses arranjos têm e
nas duas extremidades;
– aplicar
– calcular o número total de arranjos em que
– calcular quantos desses arranjos têm
– aplicar
Passo 2
Total de permutações sem restrição:
Agora, conta-se quantos arranjos têm
e
juntos. Tratando-os como um “bloco” (com 2 ordens internas), há
permutations em que são vizinhos. Logo, o número de arranjos em que não são adjacentes é
Passo 3
Agora, quantos desses
arranjos têm
e
ocupando as duas extremidades? Para isso, escolhemos as posições das extremidades (2 opções:
à esquerda e
à direita, ou vice-versa) e permutamos os 4 fiéis nos 4 lugares do meio:
Passo 4
Finalmente, a probabilidade pedida é