Exercício 13. Um bispo, um padre e mais quatro fiéis estão em uma fila indiana. Supondo que o bispo e o padre não ficam juntos, qual a probabilidade de que as extremidades da fila sejam ocupadas por eles?

Passo 1

O enunciado envolve 6 pessoas em fila indiana: o bispo (B), o padre § e mais quatro fiéis. Queremos a probabilidade de que B e P ocupem as extremidades da fila, sabendo que eles não ficam juntos (ou seja, não são vizinhos). Vamos usar contagem de permutações e probabilidade condicional:
– calcular o número total de arranjos em que B e P não são adjacentes;
– calcular quantos desses arranjos têm B e P nas duas extremidades;
– aplicar
P(\text{extremidades}\mid\text{não adjacentes}) =\frac{\text{nº favoráveis}}{\text{nº não adjacentes}}.ãºáºã

Passo 2

Total de permutações sem restrição:
6! = 720.
Agora, conta-se quantos arranjos têm B e P juntos. Tratando-os como um “bloco” (com 2 ordens internas), há
2 \times 5! = 2 \times 120 = 240
permutations em que são vizinhos. Logo, o número de arranjos em que não são adjacentes é
720 - 240 = 480.

Passo 3

Agora, quantos desses 480 arranjos têm B e P ocupando as duas extremidades? Para isso, escolhemos as posições das extremidades (2 opções: B à esquerda e P à direita, ou vice-versa) e permutamos os 4 fiéis nos 4 lugares do meio:
2 \times 4! = 2 \times 24 = 48.

Passo 4

Finalmente, a probabilidade pedida é
P = \frac{48}{480} = \frac{1}{10}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}

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