Exercício 8. Marcos e Paulo fazem parte de um grupo de 10 pessoas que serão dispostas aleatoriamente em fila. Qual a probabilidade de haver exatamente 4 pessoas entre Marcos e Paulo?

Passo 1

O enunciado diz que há 10 pessoas arranjadas aleatoriamente em fila e pede a probabilidade de existir exatamente 4 pessoas entre Marcos e Paulo. O conteúdo é probabilidade em espaço de permutações.

Passo 2

Para calcular a probabilidade, primeiro achamos o número total de formas de escolher posições para Marcos e Paulo na fila. Como a fila tem 10 lugares e a ordem entre os dois importa, o total de maneiras é
10 \times 9 = 90.

Passo 3

Agora contamos em quantas dessas escolhas há exatamente 4 pessoas entre Marcos e Paulo. Sejam i a posição de um e j a do outro; queremos \lvert i-j\rvert -1 =4, ou seja \lvert i-j\rvert =5. Os pares (i,j) com diferença 5 são:
(1,6),\,(2,7),\,(3,8),\,(4,9),\,(5,10),
cinco pares não ordenados. Como Marcos pode ocupar a primeira posição do par ou a segunda, temos 5\times2=10 casos favoráveis.

Passo 4

A probabilidade é então
\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}} =\frac{10}{90}=\frac{1}{9}.á

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}

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