Exercício 3.10.4. Uma matriz quadrada é chamada idempotente se
.
Estabelecer se existem valores do parâmetro real
tais que
seja idempotente.
Estabelecer se existem valores do parâmetro real
Passo 1
O enunciado pede os valores de
kinR tais que a matriz
seja idempotente, isto é, satisfaz
;A^2 = A . Para isso, vamos multiplicar
A por si mesma e igualar as entradas correspondentes.
Passo 2
Calculemos
Fazendo produto linha– coluna, obtemos
Passo 3
Idempotência exige
A^2=A , ou seja cada entrada de
A^2 coincide com a de
A . Das nove equações, as não-triviais são:
A primeira dá
k(k+1)=0Rightarrow k=0 ou
k=-1 . As outras exigem
k=0 . Logo o único
k que satisfaz tudo é
k=0 .
Resposta
O único valor de
k que torna
A idempotente é
k=0 .