Exercício 3.10.4. Uma matriz quadrada é chamada idempotente se A^2=A.
Estabelecer se existem valores do parâmetro real k tais que
A=(ccc 1 & k & k 1 & 0 & 0 k & 0 & 0 )seja idempotente.

Passo 1

O enunciado pede os valores de kinR tais que a matriz
A = 1 & k & k 1 & 0 & 0 k & 0 & 0
seja idempotente, isto é, satisfaz ;A^2 = A. Para isso, vamos multiplicar A por si mesma e igualar as entradas correspondentes.

Passo 2

Calculemos
A^2 = A cdot A
Fazendo produto linha– coluna, obtemos
A^2 = 1 cdot 1 + k cdot 1 + k cdot k & 1 cdot k + k cdot 0 + k cdot 0 & 1 cdot k + k cdot 0 + k cdot 0 [6pt] 1 cdot 1 + 0 cdot 1 + 0 cdot k & 1 cdot k + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 1 cdot k + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 [6pt] k cdot 1 + 0 cdot 1 + 0 cdot k & k cdot k + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & k cdot k + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 1 + k + k^2 & k & k 1 & k & k k & k^2 & k^2 ]

Passo 3

Idempotência exige A^2=A, ou seja cada entrada de A^2 coincide com a de A. Das nove equações, as não-triviais são:
1 + k + k^2 = 1, k = 0, k^2 = 0
A primeira dá k(k+1)=0Rightarrow k=0 ou k=-1. As outras exigem k=0. Logo o único k que satisfaz tudo é k=0.

Resposta

O único valor de k que torna A idempotente é k=0.

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