Q. [5(1,9)). Defina função contínua e analise se a função é contínua.
A definição em termos de limites é: Uma função é dita contínua em um ponto de seu domínio se . Note que esta definição impõem duas premissas, a saber: (i) , e (ii) .
Para decidir se a função , dada, é contínua, devemos eliminar o módulo e analisar a existência do limite em visto que, para todo temos que é contínua. Assim, temos:
donde , visto que pois e .

Passo 1

O enunciado pede que a gente use a definição em termos de limites: uma função
desde que exista e o limite também exista. Aqui a função é
Como para se ), só precisamos verificar a continuidade em .

Passo 2

Para estudar o limite em x=3, eliminamos o módulo em cada lado de 3:
se x>3 então 2x-6>0 e
f(x)=2x-6x^2-9=2(x-3)(x-3)(x+3)=2x+3;
se x<3 então 2x-6<0 e
f(x)=-(2x-6)x^2-9=-2(x-3)(x-3)(x+3)=-2x+3

Passo 3

Calculamos o limite pela direita:
limxto3^+f(x)=limxto3^+2x+3=23+3=26=13

Passo 4

Calculamos o limite pela esquerda:
limxto3^-f(x)=limxto3^--2x+3=-23+3=-26=-13

Passo 5

Como
limxto3^+f(x)=13neq -13=limxto3^-f(x),
o limite limxto3f(x) não existe. Logo, não podemos ter limxto3f(x)=f(3).

Resposta

A função f não é contínua em x=3 (embora seja contínua em todos os demais pontos do domínio).

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