Exercício 4. Resolva os itens abaixo.
Para b in R^d fixado, considere o funcional linear v: R^d longrightarrow R dada por v(x)=x cdot b. Prove que v é diferenciável e satisfaz, para todo x in R^d,
d v(x)=b^t e nabla v(x)=b

Passo 1

O enunciado define o funcional linear
vcolon R^d to R, v(x)=xcdot b,
com binR^d fixado. Queremos mostrar que v é diferenciável em todo xinR^d usando a definição de diferenciabilidade em R^d, e encontrar a diferencial dv(x) e o gradiente nabla v(x).

Passo 2

Para xinR^d e um incremento hinR^d, calculemos
v(x+h)-v(x) =(x+h)cdot b - xcdot b = hcdot b
Isso sugere que o candidato a diferencial linear dv(x) aplicado a h seja
L(h)=hcdot b = b^T h

Passo 3

Pela definição de diferenciabilidade, devemos verificar que
limhto 0 v(x+h)-v(x)-L(h)|h| = limhto 0 hcdot b - b^T h|h| = limhto 0 0|h| = 0
Como o resto é exatamente zero, concluímos que v é diferenciável em x e
dv(x) = L onde L(h)=b^T h

Passo 4

Portanto, para todo xinR^d,
dv(x) = b^T

Passo 5

O gradiente nabla v(x) é o vetor em R^d que representa a mesma aplicação linear via produto interno, isto é,
nabla v(x) = b

Resposta

dv(x) = b^T e nabla v(x) = b

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