Exercício 4. Resolva os itens abaixo.
Para
fixado, considere o funcional linear
dada por
. Prove que
é diferenciável e satisfaz, para todo
,
Para
Passo 1
O enunciado define o funcional linear
com
fixado. Queremos mostrar que
é diferenciável em todo
usando a definição de diferenciabilidade em
, e encontrar a diferencial
e o gradiente
.
Passo 2
Para
e um incremento
, calculemos
Isso sugere que o candidato a diferencial linear
aplicado a
seja
Passo 3
Pela definição de diferenciabilidade, devemos verificar que
Como o resto é exatamente zero, concluímos que
é diferenciável em
e
Passo 4
Portanto, para todo
,
Passo 5
O gradiente
é o vetor em
que representa a mesma aplicação linear via produto interno, isto é,