Exercício 10. Mostre que as funções abaixo são convexas em
.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é convexa em
.
O conteúdo que vamos usar é a ideia de composição de funções convexas: se é convexa e
é convexa e não decrescente, então
é convexa.
O conteúdo que vamos usar é a ideia de composição de funções convexas: se
Passo 2
Definimos
que é uma função convexa em
.
Em seguida definimos a função unidimensional
Em seguida definimos a função unidimensional
Assim
.
Passo 3
Para mostrar que
é convexa, consideramos o logaritmo
Calculamos a segunda derivada de
:
Como
para todo
,
é estritamente convexa.
Além disso, a exponencial é função convexa e estritamente crescente, logo
Além disso, a exponencial é função convexa e estritamente crescente, logo
é convexa (composição de função convexa crescente com convexa).
Passo 4
Falta verificar que
é não decrescente em
. Usamos
Como
e
satisfaça
para
(basta notar que
em
), temos
. Assim
é não decrescente.
Passo 5
Concluímos que
é convexa, e
é convexa e não decrescente. Pela propriedade de composição,
é convexa em
.
Resposta
A função
é convexa em
.