Exercício 10. Mostre que as funções abaixo são convexas em R^n.
f(x)=(1+lang<= x, xrang<=)^lang<= x, xrang<=.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x) = l(1 + lang<= x,xrang<=r)^lang<= x,xrang<=
é convexa em R^n.
O conteúdo que vamos usar é a ideia de composição de funções convexas: se r(x) é convexa e h é convexa e não decrescente, então hcirc r é convexa.

Passo 2

Definimos
r(x) = lang<= x,xrang<= = |x|^2,
que é uma função convexa em R^n.
Em seguida definimos a função unidimensional
hcolon [0,infty)toR, h(r) = (1+r)^r
Assim f(x)=hl(r(x)r).

Passo 3

Para mostrar que h é convexa, consideramos o logaritmo
ell(r) = ln h(r) = rln(1+r)
Calculamos a segunda derivada de ell:
ell'(r) = ln(1+r) + r1+r,
ell''(r) = 11+r + (1+r)-r(1+r)^2 = 11+r + 1(1+r)^2 = 2 + r(1+r)^2 > 0
Como ell''(r)>0 para todo r>=0, ell é estritamente convexa.
Além disso, a exponencial é função convexa e estritamente crescente, logo
h(r) = e^ell(r)
é convexa (composição de função convexa crescente com convexa).

Passo 4

Falta verificar que h é não decrescente em [0,infty). Usamos
h'(r) = h(r),ell'(r)
Como h(r)>0 e
ell'(r) = ln(1+r) + r1+r
satisfaça ell'(r)>=0 para r>=0 (basta notar que ln(1+r)>=r1+r em [0,infty)), temos h'(r)>=0. Assim h é não decrescente.

Passo 5

Concluímos que r(x)=|x|^2 é convexa, e h é convexa e não decrescente. Pela propriedade de composição,
f(x) = hl(r(x)r)
é convexa em R^n.

Resposta

A função f(x)=(1+lang<= x,xrang<=)^lang<= x,xrang<= é convexa em R^n.

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