Mostre que no caso em que ⟨𝑔̃𝑖, 𝑔̃𝑗⟩=0 para todo 𝑖≠𝑗 e ⟨𝑔̃𝑗, 𝑔̃𝑗⟩≠0 para todo 𝑗, temos que
𝑎𝑗=⟨𝑓̃, 𝑔̃𝑗⟩⟨𝑔̃𝑗, 𝑔̃𝑗⟩

Passo 1

O enunciado considera um espaço com produto interno e uma família ortogonal tilde gi tal que
lang<= tilde gi,tilde gjrang<= = 0(ineq j),
e lang<= tilde gj,tilde gjrang<=neq 0 para todo j. Supondo que um vetor (ou função) tilde f possa ser escrito como combinação linear dessa família, ou seja
tilde f = sumi ai,tilde gi,
queremos achar cada coeficiente aj. O que vamos usar é a propriedade bilinear (ou sesquilinear) do produto interno e a ortogonalidade.

Passo 2

Tomamos a expressão
tilde f = sumi ai,tilde gi
e fazemos o produto interno de ambos os lados com tilde gj. Pela linearidade no primeiro argumento (ou conjugada-linear, conforme o caso) obtemos
lang<= tilde f,tilde gjrang<= = lang<= sumi ai,tilde gi, tilde gjrang<= = sumi ai,lang<= tilde gi,tilde gjrang<=

Passo 3

Como a família é ortogonal, lang<= tilde gi,tilde gjrang<==0 para ineq j. Logo, na soma acima só sobrevive o termo i=j. Assim
lang<= tilde f,tilde gjrang<= = aj,lang<= tilde gj,tilde gjrang<=

Passo 4

Basta agora isolar aj. Como lang<= tilde gj,tilde gjrang<=neq 0, podemos dividir ambos os lados por esse número:
aj = lang<= tilde f,tilde gjrang<=lang<= tilde gj,tilde gjrang<=

Resposta

aj = lang<= tilde f,tilde gjrang<=lang<= tilde gj,tilde gjrang<=

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