Mostre que no caso em que ⟨𝑔̃𝑖, 𝑔̃𝑗⟩=0 para todo 𝑖≠𝑗 e ⟨𝑔̃𝑗, 𝑔̃𝑗⟩≠0 para todo 𝑗, temos que
𝑎𝑗=⟨𝑓̃, 𝑔̃𝑗⟩⟨𝑔̃𝑗, 𝑔̃𝑗⟩
𝑎𝑗=⟨𝑓̃, 𝑔̃𝑗⟩⟨𝑔̃𝑗, 𝑔̃𝑗⟩
Passo 1
O enunciado considera um espaço com produto interno e uma família ortogonal
tal que
e
para todo
. Supondo que um vetor (ou função)
possa ser escrito como combinação linear dessa família, ou seja
queremos achar cada coeficiente
. O que vamos usar é a propriedade bilinear (ou sesquilinear) do produto interno e a ortogonalidade.
Passo 2
Tomamos a expressão
e fazemos o produto interno de ambos os lados com
. Pela linearidade no primeiro argumento (ou conjugada-linear, conforme o caso) obtemos
Passo 3
Como a família é ortogonal,
para
. Logo, na soma acima só sobrevive o termo
. Assim
Passo 4
Basta agora isolar
. Como
, podemos dividir ambos os lados por esse número: