A função possui derivada em ? Justifique sua resposta. Esta função possui reta tangente no ponto ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta: (i) é derivável em ? (ii) Qual a reta tangente em ?
Para resolver isso vamos usar a definição de derivada em zero
e o conceito de reta tangente via limite do coeficiente angular das secantes.
Passo 2
Calculemos o quociente de diferença em zero. Como , temos
Passo 3
Agora analisamos o limite quando hto0.
Para hto0^+:
h^-5/7to+infty
Para hto0^-:
-(-h)^-5/7to -infty
Os limites lateral direito e esquerdo não coincidem em um valor finito, logo
limhto0f(h)-f(0)h
não existe (é divergente). Portanto f'(0)não existe e fnão é derivável em x=0.
Passo 4
Mesmo sem derivada finita, podemos perguntar qual é a reta que “aperta” o gráfico em (0,0). O fato de o coeficiente angular das secantes disparar para pminfty significa que a curva fica cada vez mais vertical perto de zero. Então a reta tangente é a reta vertical
x=0
Isto é, embora não haja uma reta da forma y=mx+b com m finito, existe sim uma tangente vertical em (0,0).
Resposta
(i) f'(0)não existe, pois o quociente de diferença diverge.
(ii) A reta tangente é a reta vertical