A função f(x)=raiz[7]x^2 possui derivada em x=0 ? Justifique sua resposta. Esta função possui reta tangente no ponto (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raiz[7]x^2=(x^2)^1/7=|x|^2/7
e pergunta: (i) f é derivável em x=0? (ii) Qual a reta tangente em (0,0)?
Para resolver isso vamos usar a definição de derivada em zero
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h
e o conceito de reta tangente via limite do coeficiente angular das secantes.

Passo 2

Calculemos o quociente de diferença em zero. Como f(0)=0, temos
f(h)-f(0)h =|h|^2/7h = h^-5/7,&h>0, -(-h)^-5/7,&h<0

Passo 3

Agora analisamos o limite quando hto0.
Para hto0^+:
h^-5/7to+infty
Para hto0^-:
-(-h)^-5/7to -infty
Os limites lateral direito e esquerdo não coincidem em um valor finito, logo
limhto0f(h)-f(0)h
não existe (é divergente). Portanto f'(0) não existe e f não é derivável em x=0.

Passo 4

Mesmo sem derivada finita, podemos perguntar qual é a reta que “aperta” o gráfico em (0,0). O fato de o coeficiente angular das secantes disparar para pminfty significa que a curva fica cada vez mais vertical perto de zero. Então a reta tangente é a reta vertical
x=0
Isto é, embora não haja uma reta da forma y=mx+b com m finito, existe sim uma tangente vertical em (0,0).

Resposta

(i) f'(0) não existe, pois o quociente de diferença diverge.
(ii) A reta tangente é a reta vertical
x=0

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