5.7H Seja y(x), a <= x <= b, uma solução da edo y^prime prime+2 x y^prime+4 y=0, cujo gráfico é tangente ao eixo x no ponto de abscissa x0 do intervalo [a, b]. Mostre que a solução y(x) é identicamente nula.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea
y'' + 2x,y' + 4y = 0,
em [a,b], e afirma que sua solução y(x) satisfaz
y(x0)=0 e y'(x0)=0
para algum x0in[a,b]. O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem: em condições de continuidade dos coeficientes, a solução de valor inicial l(y(x0),y'(x0)r) é única.

Passo 2

Transformamos a EDO de segunda ordem num sistema de primeira ordem definindo
u(x)=y(x), v(x)=y'(x)
Então
u' = v, v' = -2x,v - 4u
Este é um sistema linear com coeficientes contínuos em [a,b].

Passo 3

Pelo Teorema de existência e unicidade de Picard– Lindel"of (ou teoria de sistemas lineares), dada a condi\c{c}~ao inicial
u(x0)=0, v(x0)=0,
existe uma \unico{} solu\c{c}~ao do sistema em [a,b].

Passo 4

Note que u(x)equiv0 e v(x)equiv0 (isto é, y(x)equiv0 e y'(x)equiv0) satisfazem o sistema e as condições iniciais. Pela unicidade, não pode haver outra solução distinta dessa.

Resposta

A solução y(x) é identicamente nula em [a,b], isto é,
y(x)equiv 0

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