5.7H Seja
, uma solução da edo
, cujo gráfico é tangente ao eixo
no ponto de abscissa
do intervalo
. Mostre que a solução
é identicamente nula.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea
em
, e afirma que sua solução
satisfaz
para algum
. O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem: em condições de continuidade dos coeficientes, a solução de valor inicial
é única.
Passo 2
Transformamos a EDO de segunda ordem num sistema de primeira ordem definindo
Então
Este é um sistema linear com coeficientes contínuos em
.
Passo 3
Pelo Teorema de existência e unicidade de Picard– Lindel"of (ou teoria de sistemas lineares), dada a condi\c{c}~ao inicial
existe uma \unico{} solu\c{c}~ao do sistema em
.
Passo 4
Note que
e
(isto é,
e
) satisfazem o sistema e as condições iniciais. Pela unicidade, não pode haver outra solução distinta dessa.
Resposta
A solução
é identicamente nula em
, isto é,