Exercício 10. Mostre que as funções abaixo são convexas em .
real.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f:R^ntoR, f(x)=l(1+|x|^2r)^tfrac p2,
com p>=1, é convexa em R^n.
Conteúdo: critério de convexidade via Hessiana positiva semidefinida (função C^2).

Passo 2

Critério de convexidade para funções C^2: se a Hessiana D^2f(x) é definida positiva semidefinida em todo x, então f é convexa.

Passo 3

Para calcular D^2f(x), usamos composição. Defina
h(x)=|x|^2, phi(t)=(1+t)^tfrac p2,
assim f(x)=phil(h(x)r). Temos
nabla h(x)=2x, D^2h(x)=2I,
e
phi'(t)= p2,(1+t)^tfrac p2-1, phi''(t)= p2l( p2-1r)(1+t)^tfrac p2-2
Pelo teorema da cadeia,
nabla f(x)=phi'(h(x))nabla h(x)=2phi'(t),x,
D^2f(x) =phi'(t),D^2h(x)+phi''(t),nabla h(x),nabla h(x)^T =2phi'(t),I+4phi''(t),x,x^T,
onde t=|x|^2.

Passo 4

Para verificar que D^2f(x) é semidefinida positiva, considere qualquer vetor yinR^n. Então
y^T D^2f(x),y =2phi'(t),|y|^2+4phi''(t),(xcdot y)^2
Separamos dois casos:
  1. Se xcdot y=0, então y^T D^2f(x),y=2phi'(t),|y|^2>=0 pois phi'(t)>=0.
  2. Se y é paralelo a x, digamos y=lambda x, então (xcdot y)^2=|x|^2|y|^2=t,|y|^2 e y^T D^2f(x),y =2|y|^2l(phi'(t)+2t,phi''(t)r) Calculemos phi'(t)+2t,phi''(t) = p2(1+t)^tfrac p2-2l[(1+t)+t(p-2)r] = p2(1+t)^tfrac p2-2l[1+(p-1)tr] Como p>=1 e t>=0, temos 1+(p-1)t>=0, logo phi'(t)+2t,phi''(t)>=0. Assim também y^T D^2f(x),y>=0.
Em ambos os casos a forma quadrática é não negativa, o que prova que D^2f(x) é semidefinida positiva para todo x.

Passo 5

Pelo critério da Hessiana, f é convexa em R^n.

Resposta

A função
f(x)=l(1+|x|^2r)^tfrac p2, p>=1,
é convexa em R^n.

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