Exercício 10. Mostre que as funções abaixo são convexas em
.
real.)
real.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
com
, é convexa em
.
Conteúdo: critério de convexidade via Hessiana positiva semidefinida (função ).
Conteúdo: critério de convexidade via Hessiana positiva semidefinida (função
Passo 2
Critério de convexidade para funções
: se a Hessiana
é definida positiva semidefinida em todo
, então
é convexa.
Passo 3
Para calcular
, usamos composição. Defina
assim
. Temos
e
Pelo teorema da cadeia,
onde
.
Passo 4
Para verificar que
é semidefinida positiva, considere qualquer vetor
. Então
Separamos dois casos:
- Se
, então pois . - Se
é paralelo a , digamos , então e Calculemos Como e , temos , logo . Assim também .
Em ambos os casos a forma quadrática é não negativa, o que prova que
é semidefinida positiva para todo
.
Passo 5
Pelo critério da Hessiana,
é convexa em
.
Resposta
A função
é convexa em
.