Calcule as derivadas das funções abaixo:
f(x)=raizsen(2 x+x^6)+15.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=raizsen!l(2x+x^6r)+15
O conteúdo necessário é a regra da soma, a derivada de raiz quadrada (ou potência 1/2) e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Como f(x) é soma de raizsen(2x+x^6) com a constante 15, temos
f'(x)=ddxl[raizsen(2x+x^6)r]+ddx[15]
E ddx[15]=0, logo
f'(x)=ddxl[raizsen(2x+x^6)r]

Passo 3

Defina
u(x)=senl(2x+x^6r),
de modo que raizu(x)=u(x)^1/2. Pela regra da potência,
ddxl[u(x)^1/2r] =12,u(x)^-1/2,u'(x) =u'(x)2raizu(x)

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Como
u(x)=senl(v(x)r), v(x)=2x+x^6,
pela cadeia,
u'(x)=cosl(v(x)r),v'(x)
E
v'(x)=ddx[2x+x^6]=2+6x^5
Portanto
u'(x)=cosl(2x+x^6r),(2+6x^5)

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) na fórmula da derivada da raiz, obtemos
f'(x) =u'(x)2raizu(x) =cosl(2x+x^6r),(2+6x^5)2raizsenl(2x+x^6r)

Resposta

f'(x) =(2+6x^5),cosl(2x+x^6r)2raizsenl(2x+x^6r)

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