Exercício 10: Um nêutron possui uma energia cinética de 10 MeV . Que tamanho de objeto é necessário para observar efeitos de difração com nêutrons. Existe algo na natureza desse tamanho que pudesse servir como um alvo a fim de demonstrar a natureza ondulatória deste nêutron

Passo 1

O enunciado dá que um nêutron tem energia cinética 10\\ \mathrm{MeV} e pede duas coisas:
  1. Determinar o tamanho (escala linear) de um objeto necessário para observar efeitos de difração desse nêutron.
  2. Dizer se existe algo na natureza com esse tamanho que pudesse servir como alvo para demonstrar a natureza ondulatória do nêutron.
Informações relevantes fornecidas:
  • Energia cinética do nêutron: 10\\ \mathrm{MeV}.
Nada mais foi pedido. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Conceito teórico essencial (a “fórmula mágica” que liga partícula e onda):
  • A relação de de Broglie diz que toda partícula tem comprimento de onda associado dado por
\lambda=\frac{h}{p},
onde \lambda é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula.
  • Para energia cinética não relativística, a relação entre energia cinética E e momento p é
E=\frac{p^{2}}{2m}\quad\Longrightarrow\quad p=\sqrt{2mE},
onde m é a massa da partícula. Vou justificar usar a fórmula não relativística mais adiante.
Explicação das variáveis:
  • h é a constante de Planck, h\approx 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • p é o momento linear (em \mathrm{kg\cdot m/s}).
  • m é a massa do nêutron, m_n\approx 1{,}675\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • E é a energia cinética em joules (vamos converter de \mathrm{MeV} para \mathrm{J}).
Raciocínio prático: para observar difração, o obstáculo/estrutura deve ter dimensões da mesma ordem de grandeza que \lambda (ou espaçamento característico comparável a \lambda). Então vamos calcular \lambda.

Passo 3

Converter a energia de \mathrm{MeV} para joules.
  • 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • 1\\ \mathrm{MeV}=10^{6}\\ \mathrm{eV}.
Portanto, para E=10\\ \mathrm{MeV}:
E = 10\times10^{6}\\ \mathrm{eV} = 1{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{eV}.
E = 1{,}0\times10^{7}\times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1{,}602176634\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.
Para simplificar as contas usarei E\approx 1{,}602\times10^{-12}\\ \mathrm{J} (mantendo precisão suficiente para escala).

Passo 4

Verificar se podemos usar a aproximação não relativística:
  • A energia de repouso do nêutron é m_n c^{2}\approx 939\\ \mathrm{MeV}.
  • Aqui E=10\\ \mathrm{MeV} é muito menor que 939\\ \mathrm{MeV} (aprox. 1{,}1\% da energia de repouso), portanto a aproximação não relativística é razoável para estimar \lambda com boa precisão para fins de ordem de grandeza.
  • Como checagem, a velocidade estimada usando a fórmula não relativística é
v=\sqrt{\frac{2E}{m_n}}.
Substituindo números:
\frac{2E}{m_n}=\frac{2\times 1{,}602\times10^{-12}}{1{,}675\times10^{-27}} \approx 1{,}913\times10^{15}\\ (\mathrm{m^{2}/s^{2}}),
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v\approx\sqrt{1{,}913\times10^{15}}\approx 4{,}37\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}146\,c,
ou seja v\approx 0{,}15 vezes a velocidade da luz — não relativístico extremo, mas suficientemente lento para usar p=\sqrt{2mE} com erro pequeno na ordem de grandeza.

Passo 5

Calcular o momento p usando p=\sqrt{2mE}.
  • Usando m_n=1{,}675\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} e E=1{,}602\times10^{-12}\\ \mathrm{J},
2m_n E = 2\times 1{,}675\times10^{-27}\times 1{,}602\times10^{-12} \approx 5{,}3667\times10^{-39}\\ (\mathrm{kg^{2}\,m^{2}/s^{2}}).
p=\sqrt{5{,}3667\times10^{-39}}\approx 2{,}317\times10^{-19{,}5}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Para escrever em potência única:
p\approx 7{,}33\times10^{-20}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
(Se quiser conferir: essa ordem de grandeza vem de calcular numericamente \sqrt{5{,}3667}\approx2{,}317 e 10^{-39/2}=10^{-19{,}5}\approx3{,}1623\times10^{-20}, produto ≈ 7{,}33\times10^{-20}.)

Passo 6

Calcular o comprimento de onda de Broglie \lambda = h/p.
  • h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
\lambda=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{7{,}33\times10^{-20}} \approx 9{,}04\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.
Portanto
\lambda\approx 9{,}0\times10^{-15}\\ \mathrm{m}.
É conveniente expressá-lo em femtômetros (1 fm =10^{-15}\\ \mathrm{m}):
\lambda\approx 9{,}0\\ \mathrm{fm}.

Passo 7

Interpretar o resultado e comparar com escalas conhecidas:
  • Tamanhos típicos:
    • Raio atômico / espaçamento entre átomos em sólidos: \sim 10^{-10}\\ \mathrm{m}=10^{5}\\ \mathrm{fm} (ou seja, \sim 0{,}1\\ \mathrm{nm}=1\\ \text{\AA}).
    • Espaçamento de planos cristalinos (útil para difração de nêutrons térmicos): \sim 10^{-10}\\ \mathrm{m} (alguns Å).
    • Raio de núcleo atômico: \sim 1 a 10\\ \mathrm{fm} ( 10^{-15}\\ \mathrm{m}).
  • Nosso \lambda\approx 9\\ \mathrm{fm} está na ordem de grandeza do tamanho de núcleos atômicos, e é muito menor que espaçamentos atômicos ou cristalinos (ou seja, \lambda é cerca de 10^{4} a 10^{5} vezes menor que espaçamento entre átomos).
  • Conclusão física: para observar difração visível (esquema de ondas interferindo com espaçamentos regulares), o obstáculo/espacamento deve ser da ordem de \lambda. Então precisamos de estruturas com dimensões da ordem de 10^{-15}\\ \mathrm{m} — isto é, dimensões nucleares.

Passo 8

Existe algo na natureza com esse tamanho que sirva como alvo prático?
  • Sim e não, explicado:
    • Sim: núcleos atômicos individuais têm tamanho da ordem de 1 a 10\\ \mathrm{fm}, compatível com \lambda\approx 9\\ \mathrm{fm}. Portanto, processos de espalhamento de nêutrons em núcleos (espalhamento nuclear elástico) podem mostrar fenômenos análogos a difração (padrões angulares, oscilações típicas de interferência), e estudos de espalhamento de nêutrons em física nuclear exploram esse regime.
    • Não prático: não existe, na natureza macroscópica, uma “rede” periódica com espaçamento de \sim 10^{-15}\\ \mathrm{m} que pudesse produzir um padrão de difração clássico (como em cristais para elétrons ou nêutrons térmicos). Os átomos em um cristal estão separados por ~Å, não fm. Assim, para uma demonstração simples (p.ex. colocar um alvo macroscópico e ver franjas de difração) isso não é viável com nêutrons de 10\\ \mathrm{MeV}.
  • Em experimentos nucleares avançados, usa-se o espalhamento de nêutrons por núcleos e observa-se distribuição angular que contém informações de “difração” nuclear (por exemplo, máximos e mínimos angulares), mas isso exige detectores especializados e análise — não é uma demonstração de laboratório simples.

Passo 9

Comentário prático final e alternativa didática:
  • Para demonstrar de forma didática e simples a natureza ondulatória de nêutrons em aula ou laboratório normal, usa-se nêutrons térmicos (energia ~ 25\\ \mathrm{meV}) cuja \lambda é da ordem de 1 a 2\\ \text{\AA} ( \sim 10^{-10}\\ \mathrm{m}), compatível com espaçamentos cristalinos — aí a difração por cristais é facilmente observável (técnica de difração de nêutrons).
  • Portanto, nêutrons de 10\\ \mathrm{MeV} têm comprimento de onda nuclear e exigem alvos nucleares e técnicas nucleares para observar efeitos de difração.

Resposta

Tamanho necessário: \approx 9{,}0\times10^{-15}\\ \mathrm{m} (≈ 9\\ \mathrm{fm}).\nExiste algo na natureza desse tamanho? Núcleos atômicos têm essa ordem de grandeza e podem causar efeitos de difração nuclear (sim), mas não há redes macroscópicas periódicas nessa escala; portanto não é prático como alvo simples para uma demonstração de difração — exigem-se experimentos de espalhamento nuclear especializados.

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