Exercício 9: A estrutura atômica do sal de cozinha ( NaCl ) é composta por camadas de átomos com uma distância aproximada de
. Qual deve ser o potencial eletrostático mínimo, em Volts, aplicado a um elétron, de modo que seja capaz de sofrer difração ao passar entre as camadas?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual deve ser o potencial eletrostático mínimo, em Volts, aplicado a um elétron, de modo que seja capaz de sofrer difração ao passar entre as camadas?”
Informações dadas:
Informações dadas:
ou seja
Não há outras informações numéricas no enunciado.
Passo 2
Conceito físico que vamos usar (aula rápida): o elétron tem comportamento ondulatório com comprimento de onda dado pela relação de de Broglie
onde
é a constante de Planck e
é o momento linear do elétron. Aqui:
-
é o comprimento de onda do elétron (m); -
é a constante de Planck ( ); -
é o momento linear do elétron ( ).
Quando aceleramos um elétron através de um potencial eletrostático
, ele ganha energia cinética igual a
(energia em joules), onde
é a carga elementar. Para velocidades não relativísticas a energia cinética clássica é
onde
é a massa do elétron. A partir dessas duas expressões podemos relacionar
com
.
Passo 3
Combinação algébrica das fórmulas: da relação entre energia cinética e momento temos
Substituindo em
obtemos
Isolando
,
Aqui cada símbolo significa:
-
: potencial acelerador (Volts); -
: constante de Planck; -
: massa do elétron; -
: carga elementar; -
: comprimento de onda desejado (aqui igual à distância entre camadas).
Passo 4
Vamos agora substituir os valores numéricos (usando unidades SI):
Calculemos
:
Agora o denominador
:
Faço a multiplicação passo a passo (apenas com ordens de grandeza e fatores):
Agora o numerador
:
Portanto
Passo 5
Interpretação e checagem rápida: o resultado significa que um elétron acelerado por cerca de
terá comprimento de onda na ordem de
, compatível com a separação entre camadas do cristal — condição adequada para observar difração. A energia correspondente é
, muito menor que a energia de repouso do elétron (
), portanto a aproximação não relativística usada é válida.