Exercício 9: A estrutura atômica do sal de cozinha ( NaCl ) é composta por camadas de átomos com uma distância aproximada de 2,8 \AA. Qual deve ser o potencial eletrostático mínimo, em Volts, aplicado a um elétron, de modo que seja capaz de sofrer difração ao passar entre as camadas?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual deve ser o potencial eletrostático mínimo, em Volts, aplicado a um elétron, de modo que seja capaz de sofrer difração ao passar entre as camadas?”
Informações dadas:
\text{distância entre camadas}=\;2{,}8\\ \text{\AA}â
ou seja
\lambda_{\text{alvo}}=2{,}8\\ \text{\AA}=2{,}8\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Não há outras informações numéricas no enunciado.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (aula rápida): o elétron tem comportamento ondulatório com comprimento de onda dado pela relação de de Broglie
\lambda=\frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p é o momento linear do elétron. Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda do elétron (m);
  • h é a constante de Planck ( \mathrm{J\cdot s});
  • p é o momento linear do elétron ( \mathrm{kg\cdot m/s}).
Quando aceleramos um elétron através de um potencial eletrostático V, ele ganha energia cinética igual a eV (energia em joules), onde e é a carga elementar. Para velocidades não relativísticas a energia cinética clássica é
\mathrm{KE}=\frac{p^{2}}{2m}=eV,
onde m é a massa do elétron. A partir dessas duas expressões podemos relacionar \lambda com V.

Passo 3

Combinação algébrica das fórmulas: da relação entre energia cinética e momento temos
p=\sqrt{2m e V}.
Substituindo em \lambda=\dfrac{h}{p} obtemos
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m e V}}.
Isolando V,
V=\frac{h^{2}}{2m e \lambda^{2}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • V: potencial acelerador (Volts);
  • h: constante de Planck;
  • m: massa do elétron;
  • e: carga elementar;
  • \lambda: comprimento de onda desejado (aqui igual à distância entre camadas).

Passo 4

Vamos agora substituir os valores numéricos (usando unidades SI):
h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
\lambda=2{,}8\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Calculemos \lambda^{2}:
\lambda^{2}=(2{,}8\times10^{-10})^{2}=7{,}84\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora o denominador 2m e \lambda^{2}:
2m e \lambda^{2}=2\cdot(9{,}10938356\times10^{-31})\cdot(1{,}602176634\times10^{-19})\cdot(7{,}84\times10^{-20}).
Faço a multiplicação passo a passo (apenas com ordens de grandeza e fatores):
2m=1{,}821876712\times10^{-30},
2m\cdot e\approx 2{,}918967739\times10^{-49},
2m e \lambda^{2}\approx 2{,}288470707\times10^{-68}.
Agora o numerador h^{2}:
h^{2}=(6{,}62607015\times10^{-34})^{2}\approx4{,}39048\times10^{-67}.
Portanto
V=\frac{4{,}39048\times10^{-67}}{2{,}288470707\times10^{-68}}\approx 19{,}2\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: o resultado significa que um elétron acelerado por cerca de 19{,}2\\ \mathrm{V} terá comprimento de onda na ordem de 2{,}8\\ \text{\AA}, compatível com a separação entre camadas do cristal — condição adequada para observar difração. A energia correspondente é eV\approx19{,}2\\ \mathrm{eV}, muito menor que a energia de repouso do elétron ( \approx511\\ \mathrm{keV}), portanto a aproximação não relativística usada é válida.

Resposta

V\approx19{,}2\\ \mathrm{V}

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