Exercício 3. Sabemos que o conjunto dos números complexos mathbb{C}, munido das operações usuais de adiçà (£) o de números complexos e multiplicaçà (£) o de número real por número complexo, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Mostre que o número complexo z_{1} \doteq 1, gera o espaço vetorial complexo ( \mathbb{C},+, \cdot ).

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que, visto como espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{C}, o conjunto formado por
z_{1} = 1
gera todo o espaço \mathbb{C}. Para isso, usamos a definição de geração: se S\subset V, então
\operatorname{Span}(S)=\{\lambda\cdot s\mid \lambda\in\mathbb{C},\,s\in S\}.

Passo 2

Aplicando essa definição ao conjunto \{1\}, temos
\operatorname{Span}(\{1\}) =\{\alpha\cdot 1\mid \alpha\in\mathbb{C}\}.

Passo 3

Mas, por propriedades da multiplicação em \mathbb{C}, para todo \alpha\in\mathbb{C}
\alpha\cdot 1 = \alpha.
Logo cada \alpha\in\mathbb{C} está em \operatorname{Span}(\{1\}).

Passo 4

Desse modo
\operatorname{Span}(\{1\})=\mathbb{C},
ou seja, \{1\} gera todo o espaço vetorial \mathbb{C}.

Passo 5

Concluímos que o número complexo z_{1}=1 gera o espaço vetorial complexo (\mathbb{C},+,\cdot).

Resposta

\operatorname{Span}(\{1\})=\mathbb{C}, logo z_{1}=1 gera todo o espaço vetorial.

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